counter679682
(2010 年 4 月 30 日「研究ブログ」に設置)

研究ブログ

研究ブログ >> 記事詳細

2017/03/17

パスカルの三角形とフラクタル

Tweet ThisSend to Facebook | by Takebe
昨年度に引き続き、今年度も一年生の講義「離散数学入門」の手伝いをしています。担当しているのは、「セミナー」と称する(日本で言う)演習の授業と問題演習(問題が予め配られていて、学生さんが教員に一対一で解答を説明する時間)。セミナー用の問題は組合せ論のバリバリの専門家が「出来る学生が退屈しないように」難しい問題を入れて作るので、私では歯が立たない問題も。(>_<) ま、そういう問題は大抵学生さんも手を出さないので、説明を省略させてもらいます。(^-^;;

今日のテーマは二項係数で、これは私も仕事でイジることがあるため、それほど怖くはなかったのですが、「重複を込めて数える組合せがいくつ」とかは、植木算の部分で「足す1だっけ、引く1だっけ?」とオタオタしてます。でも、「ある n について、二項係数 kCn(ロシアでは Cnk と表記)に k を掛けて k=0 から k=n まで足したらいくつか」とか「k2 を掛けて足したら」とかの問題は、母関数を使ったり、「n 人から代表者1名(または2名)を決めたグループを選出する方法」を数える、という形で "bijective proof" を考えたり、と楽しんでいます。

今朝、通勤途中で歩きながら考えて(=二、三時間で授業が始まる、という切羽詰まった状況で泥縄で)次の問題が解けたのは嬉しかったので、ここで紹介:p を素数として、正の整数 a と b を p 進表示して a=...a1 a0, b=... b1 b0 とする(ai, bi は p 進での i+1 桁目)。この時、p を法として、aCba_0Cb_0 × a_1Cb_1 × … は合同。

これを使ってパスカルの三角形を 0,1,...,p-1 の p「色」に塗り分けて極限を取ると、Sierpinski ガスケットのようなフラクタル模様ができます (特に p=2 ならそのもの)。そういう絵が昔々、雑誌「数学セミナー」の表紙に載っていたような気がするんですが、ご記憶の方はおられませんか?組合せ論や整数論では有名なのでしょうか。

この問題に挑戦した学生さんはいたようですが、出来た人はいなかった模様。自分の心覚えのため、略解を置いておきます。
 
04:31 | 投票する | 投票数(1) | コメント(0) | 教育