2020年4月 - 2025年3月
特異点を持つ超曲面に対する変分問題及び幾何解析と離散曲面論の新展開
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B) 基盤研究(B)
- 課題番号
- 20H01801
- 体系的課題番号
- JP20H01801
- 担当区分
- 研究分担者
- 配分額
-
- (総額)
- 17,420,000円
- (直接経費)
- 13,400,000円
- (間接経費)
- 4,020,000円
本研究の目的は、滑らかな超曲面、区分的に滑らかな超曲面、多面体(離散曲面)の全てを含む超曲面の概念である「区分的Cr級弱超曲面」に対して法線、法変分、曲率などの幾何概念を定義し、このクラスに属する超曲面に対する変分法並びにエネルギー勾配流方程式の解析法を構築することである。他方、曲面の非等方的エネルギーは、エネルギー密度関数の選択により、液体・方向性のある液晶・結晶(固体)の全ての最適形状を求める変分問題を与えるため、本研究の変分問題のモデルとするのにふさわしい。以下に、2020年度に得られた研究成果を具体的に記載する。
非等方的エネルギー密度関数が2階連続的微分可能で凸性を持つ場合については、(n+1)次元ユークリッド空間の楔状あるいは錐状閉領域における超曲面についての自由境界問題のエネルギーの極小解についての一意性定理を得た。さらに、(n+1)次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内のグラフの平均曲率に対するHeinz型評価を統一的に得、それを応用することにより、全超平面上で定義された関数のグラフとなっている空間的及び時間的平均曲率一定(以下ではCMCと略記する)超曲面が超平面となるための、グラフを定義する関数に対する十分条件を得た。なお、非等方的エネルギーの臨界点の特別な場合として、ローレンツ・ミンコフスキー空間内のCMC超曲面も与えられる。
非等方的エネルギー密度関数が微分不可能な点を持つ場合については、いくつかの付加的条件のもとで、非等方的エネルギー極小な閉超曲面はウルフ図形(同じ体積を囲む超閉曲面の中での非等方的エネルギーの最小解)に限ることを証明した。その際、区分的に滑らかな曲線・曲面に対し、法ベクトルや曲率などの幾何概念を定義し、古典的なシュタイナー公式並びにミンコフスキー公式が成立することを証明した。
非等方的エネルギー密度関数が2階連続的微分可能で凸性を持つ場合については、(n+1)次元ユークリッド空間の楔状あるいは錐状閉領域における超曲面についての自由境界問題のエネルギーの極小解についての一意性定理を得た。さらに、(n+1)次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内のグラフの平均曲率に対するHeinz型評価を統一的に得、それを応用することにより、全超平面上で定義された関数のグラフとなっている空間的及び時間的平均曲率一定(以下ではCMCと略記する)超曲面が超平面となるための、グラフを定義する関数に対する十分条件を得た。なお、非等方的エネルギーの臨界点の特別な場合として、ローレンツ・ミンコフスキー空間内のCMC超曲面も与えられる。
非等方的エネルギー密度関数が微分不可能な点を持つ場合については、いくつかの付加的条件のもとで、非等方的エネルギー極小な閉超曲面はウルフ図形(同じ体積を囲む超閉曲面の中での非等方的エネルギーの最小解)に限ることを証明した。その際、区分的に滑らかな曲線・曲面に対し、法ベクトルや曲率などの幾何概念を定義し、古典的なシュタイナー公式並びにミンコフスキー公式が成立することを証明した。
- ID情報
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- 課題番号 : 20H01801
- 体系的課題番号 : JP20H01801
この研究課題の成果一覧
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論文
5-
Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 41(1) 233-268 2023年7月14日 査読有り筆頭著者責任著者
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JSIAM Letters 15 25-28 2023年3月24日 査読有り筆頭著者責任著者
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JSIAM Letters 15 13-16 2023年2月19日 査読有り最終著者責任著者
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Stability of hypersurfaces of constant mean curvature with free boundary in two parallel hyperplanesJSIAM Letters 15 9-12 2023年2月3日 査読有り筆頭著者責任著者
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Revista Matemática Complutense 34(3) 641-651 2020年10月8日 査読有り