本研究の目的のひとつとして，結び目及び3次元多様体の量子不変量のモジュラー性を調べることがあげられる．多くの量子不変量はモジュラー性に近い性質を持つことが知られており，量子モジュラー形式と呼ばれる．これまでの研究により，Ramanujanに始まるモックモジュラー形式と密接な関連があることが明らかになっている．量子モジュラー形式およびモックモジュラー形式は，近年，数学・物理両分野においてその重要性が認識され注目を浴びている．2019年3月にはホット・トピックスとしてブラウン大学ICERM研究所において研究集会"Modularity and 3-Manifolds"が開催され，研究代表者も参加し，今後の課題等について参加者と議論を持った．
量子不変量，特に量子モジュラー形式の更なる進展のためには新たな手法の導入が有用である．2018年度は，クラスター代数およびアフィンヘッケ代数を取り上げ，トポロジーにおける役割についての研究を行った．
まず，一般の曲面を考察する上で重要となる，1点穴あきトーラス・4点穴あき球面に注目し，character varietyの解析を行い，ポアソン構造をクラスター代数の観点から調べた．この結果は，トーラス結び目や二橋結び目の量子不変量およびそのモジュラー性の研究についても有用であるものと期待される．
また，先と同じ曲面のcharacter varietyの研究をアフィンヘッケ代数を用いても行い，結び目の量子不変量との関連についての解析をいくつか行った．