錯視日誌 - はじめに -

 
 錯視日誌では、数学、視覚、錯視に関する研究、数理科学教育、アート,その他のことについて、いろいろなことを書いています。数理視覚科学の研究から生まれた学術的な新しい錯視図形や錯視アートの新作も発表しています。

Copyright Hitoshi Arai. 本日誌の文及びオリジナル画像の無断複製・転載を禁止します
錯視についてならば錯視の科学館へどうぞ.入り口はこちら:

http://araiweb.matrix.jp/Exhibition/illusiongallary4.html

錯視 日誌

錯視日誌

オンライン応用線形代数講義:一般逆行列入門

アップしました。
一般逆行列の入門講義です。特にムーア・ペンローズ一般逆行列に焦点をあてて解説し,最小2乗解への応用,多項式曲線によるデータフィッティングへの応用について述べます。応用線形代数講義 No. 1「特異値分解入門 基礎から画像処理への応用まで」もあわせてご覧ください:

応用線形代数講義 No.1 https://youtu.be/2kJmGyEGwJU

参考書:新井仁之『線形代数 基礎と応用』(日本評論社)

 

0

オンライン講義:ダニエル積分とその使い方 確率論への応用(講師 新井仁之)

実解析学講義番外篇です.
確率論や統計学では,与えられた分布をもつ独立確率変数の無限列がよく使われます.このような無限列の存在を保証する定理を一般化したものに角谷の定理があります.伊藤清先生がこの角谷の定理にダニエル積分を用いた別証明を与えています.この証明を本講義では,ダニエル積分とその使い方を述べつつ解説します.

0

4PMセミナーでレクチャー

5月12日に東京大学理学系研究科卓越大学院プログラム(FoPM)の4PMセミナーで講演をしました.
題目は「錯視の数学的研究」です.Zoomによる講演でしたが,活発な質問がたくさんありました.

0

早稲田大学 数学科 新井仁之研究室案内 - 教育学部・大学院教育学研究科 

新井仁之研究室 案内
早稲田大学教育学部数学科・大学院教育学研究科


【研究テーマ】
数理視覚科学とその応用の研究をしています。人工知能とも関連しつつあります。このほか解析学、応用解析学、確率過程論の解析学への応用も研究しています。
このうち特に数理視覚科学は新井が創始した理論で、他では見ることのできないものといえます。現在流行しているものを後追いして研究するというスタイルではなく、自ら理論体系を創始し、最先端を切り開き、さまざまな成果を上げていくというスタイルです。 

【担当教員紹介】
早稲田大学研究者データベースより

 【研究室で学ぶ内容】
新井研究室では、数学を単に学問のための学問として研究するだけではなく、諸科学技術、社会に応用しうる研究も目指します。
学部ゼミでは専門にとらわれず解析系の数学、応用数学を広く学んでいきます。 
大学院ゼミでは主に応用調和解析、あるいは数理視覚科学を研究します。 

【担当教員の主な研究内容】 
私自身の研究テーマは、解析学、応用解析学、数理視覚科学、数理視覚科学とAI(人工知能)との関係、画像処理、解析学の確率論的方法による研究,アートといった分野の研究です。
数理視覚科学に関する研究概要については、大学初年級・高校生向けに紹介したビデオ (早稲田大学体験Webサイトより)がありますのでご覧ください:

をご覧ください。

学部ゼミの内容】
ゼミの内容は年度によって異なることがあります。本ゼミに入ることを検討する際は、数学科で配布(例年11月頃配布)の学部ゼミ案内をご覧ください。
ゼミは3年次(数学演習1A)、4年次(数学演習2A)の2年間継続です。基礎テキストは1Aで、テキストは2Aで学びます。

2021年度新3年ゼミ
基礎テキスト・テキスト:J.J.Duistermaat and J.A.C.Kolk, Distributions Theory and Applications, Birkhaeuser, 2010
2021年度4年ゼミ
基礎テキスト(20年度):久保川達也著『現代数理統計学の基礎』(共立出版).
2020年度4年ゼミ(修了)
テキスト(20年度後半):増田久弥編著『応用解析ハンドブック』(丸善)の第I部基礎編
基礎テキスト(19年度~20年度前半):山田功著『工科のための関数解析』(サイエンス社)
2019年度4年ゼミ(修了)
テキスト(19年度):新井仁之著『ウェーブレット』(共立出版)
基礎テキスト(18年度):A. Bogges and F. J. Narcowich, A First Course in Wavelets with Fourier Analysis, 2nd ed., Wiley.
2018年度4年ゼミ(2017年度石井仁司先生の3年ゼミを引き継ぎ)(修了)
テキスト:E.M.Stein and R. Shakarchi, Real Analysis, Measure Theory, Integration, Hilbert Spaces, Princeton Univ. Press.

 関連サイト
新井仁之のホームページ


 

0

実解析学講義No. 1 講師:新井仁之(早稲田大学)数理科学オープンレクチャーズ

ルベーグ集合とは - 実解析学講義 No. 1 -

講師:新井仁之
概要:「実解析的方法」は近年,偏微分方程式論,フーリエ解析,ウェーブレット解析,複素解析などでよく使われています.実解析学講義では,実解析的方法の基礎をわかりやすく解説します.No.1ではヴィタリの被覆補題を視覚的にわかりやすく解説し,ルベーグ集合について講義します.実解析的方法を身に着けたい,あるいはルベーグ積分がどのように使われているのかを知りたいという方は是非ご覧ください.

0

早稲田大学 微積分 講義紹介

 ここでは、早稲田大学での微積分の授業(微積分1A、担当教員 新井仁之)の紹介をします。

微積分1Aは早稲田大学教育学部数学科の1年の春学期に学ぶ必修科目の一つです。週に2回授業があります。本講義では、早稲田大学教旨(後注1)に基づき、応用も重視した微積分の講義を行っています。
ここでは、微積分1Aのうち、第1回講義よりガイダンスの部分、微積分がどのように役立っているのかの解説、そして第2回講義より ε-δ論法の説明をご覧いただくことができます。なおこれらの講義ビデオは、2020年度春学期に実際に行ったオンライン授業の一部です。

 

講義ビデオ 1 (約4分)
(概要)微積分1Aのガイダンスの一部です。担当教員の簡単な自己紹介、教育学部と数学科の紹介、そして早稲田大学教史と微積分の授業の進め方について述べます。
講義日:2020年5月11日
(COVID-19による大学入校禁止期間中に収録されたものです。)

講義ビデオ 2 (約6分)
(概要)微積分がどのように世の中の役にたっているのか。ここでは微積分の有用性についてお話しします。
講義日:2020年5月11日

講義ビデオ 3 (約8分)
(概要)大学の微積分で最初の難関と言われる ε-δ論法をていねいに解説します。第2回講義の一部です。
講義日:2020年5月14日(12月24日動画改訂)

 

第22回講義より:ディープラーニングと偏微分
講義日:2020年7月23日
ニューラルネットワーク

 

第21回講義より:極大?極小?サドルポイント
講義日:2020年7月20日
サドルポイント

 

微積分を基礎にして、さまざまな数理の世界を学ぶことができます。

鳥瞰図

微積分1Aの教科書 

教科書

新井仁之『これからの微分積分』
日本評論社、2019年刊
Amazon

  

(後注1)  早稲田大学は学問の活用を本旨と為すを以て
           学理を学理として研究すると共に
            之を実際に応用するの道を講し以て
                 時世の進運に資せん事を期す
                               早稲田大学教旨より 
                               1913年大隈重信公により宣言。

 

履歴
1st version  2020-09-01 21:20公開
revised version 2021-01-12 14:05公開

 

 

 

0

公と私 - 吉田松陰 私の名著発掘:世に棲む日々

 幕末・明治維新は様々なタイプの人がほぼ同時に歴史に登場し、日本を守るため、そして日本を変えるために身を粉にしてそれぞれの役割を果たした。この当時を題材にした小説を読んでいると、それを読んだ時期、自分を取り巻く環境によって、共感できる人物がそのときどきで出てくる。たとえば、幼い頃は新選組、青年期には坂本龍馬などなど。
 ところでどういうわけか、最近は吉田松陰に強い感銘を受けている。ただ、昔から吉田松陰への憧れがあったことは確かである。

 吉田松陰を最初に知ったのはいつの頃かはわからないが、母校の獨協中学校に入学した当時には、獨協の前身の獨逸学協会学校の創始者が西周と、吉田松陰の弟子の品川弥次郎であることは認識していたので、その辺りかもしれない。もう少し後になって、高校生の時分に司馬遼太郎原作のNHK大河ドラマ「花神」を見ていて、篠田三郎演ずる吉田松陰をカッコイイと感じ、非常に大きなインパクトを受けたことははっきりと憶えている。とりわけ、小伝馬町の牢で罪人沼崎吉五郎に留魂録を託すシーン。篠田三郎が(正確な台詞は覚えていないが)留魂録の一節、人にはそれぞれ春夏秋冬の四季があり、十歳で死する者にも自ずと四季があり、また長寿の者にもその四季がある、自分にも四季があり、実を結んでいるはずだがそれが秕なのか栗なのかはわからない、と言う件は涙と共に強く心に刻み込まれた。

 吉田松陰は人より少し早過ぎる考えを持っていた。最もよい例は黒船に乗り込むことを決意して、実践したことであろう。このときはまだ出国はご法度であったので、結局、牢に繋がれた。1854年のことである。しかし、そのおよそ六年後の万延元年(1860年)、勝海舟らが幕府公認のもと堂々と咸臨丸で渡米し、米国の文明に触れている。時代の激変期とはいえ、たった六年の違いである。何かを人より早くすると風当たりが強いのは、大事小事にかかわらずいつの時代でも同じことである。種々の障壁に阻まれやめてしまうのか、あるいはどうしてもやらざるを得ない気持ちになって行うのかは、その人の志によるものだと思う。

 その後、司馬遼太郎の「世に棲む日々」を読み、吉田松陰についてより詳しく知ることができた。松陰を作ったのは幼少時に受けた教育に違いないと思えた。「世に棲む日々」によれば玉木文之進という叔父が訳あって教師になったのだが、この人の教育が体罰を伴う徹底したものであった。現在だったら明らかに犯罪ものである。印象的なのは、松陰の頬に蠅がたかりかゆかったため、掻いたとして文之進から体罰を受けたことである。

「えっ、何で。」

何でそんなことで体罰を受けなければならないのか。本を読んでいて思わず声を出してしまった。もちろん体罰は良くないことで、してはならなのだが、続きを読むと文之進が教えたかった思想は理にはかなっている。文之進が怒った理由はこうである。

「学問を学ぶことは公のためにつくす自分をつくるためであり、そのため読書中の頬のかゆさを掻くことすら私情である」、
「痒みは私。掻くことは私の満足。それをゆるせば長じて人の世に出たとき私利私欲をはかる人間になるのだ」

(司馬遼太郎「世に棲む日々」より)

 

 確かに学問をするということは、公のためのものであり、だからこそ学生という身分を社会は許容している。もちろん言うまでもなく学者も同様であろう。学生も学者も全身全霊をもって学問に勤しみ、世の中に資するようでなければならない。改めて学問をするということは公のためであるという心がけを身に染みて感じた。

  吉田松陰については他にも書きたいことはいろいろあるが、長くなってきたので、この辺で「世に棲む日々」で知った話をもう一つ紹介して今回のブログを閉じることにしたい。

 母校の創始者の品川弥次郎であるが、松陰に入門したのは十四歳のときであった。入門理由は、弥次郎の家が検断人の家であったので、人を助ける人間になりたいということであった。松陰は入門を許したが、

「自分は人の師になりえない人間であるが、兄弟になったつもりで一緒に学ぼう。それでよければ来てもよい」(「世に棲む日々」より)

と言ったと書かれている。松陰はこのような少年にも敬語を使っていたそうである。

 私自身も学生さん、生徒さんには敬語を使っている。彼らは若いといっても一個の独立した人格を持っているからである。

 

今回の発掘本 
司馬遼太郎「世に棲む日々,一,二」(文春文庫)
吉田松陰「留魂録」(青空文庫)

 ----------------------------------------------------------------------
他の書評は『私の名著発掘』へどうぞ

 

0

新井仁之研究室 案内

 

新井仁之研究室 案内
早稲田大学教育学部数学科・大学院教育学研究科


研究テーマ
数理視覚科学とその応用の研究をしています。人工知能とも関連しつつあります。このほか解析学、応用解析学、確率過程論の解析学への応用も研究しています。
このうち特に数理視覚科学は新井が創始した理論で、他では見ることのできないものといえます。現在流行しているものを後追いして研究するというスタイルではなく、自ら理論体系を創始し、最先端を切り開き、さまざまな成果を上げていくというスタイルです。

 

担当教員紹介
自己紹介(ここをクリック)をご覧ください。

 

研究室で学ぶ内容
新井研究室では、数学を単に学問のための学問として研究するだけではなく、諸科学技術、社会に応用しうる研究も目指します。
学部ゼミでは専門にとらわれず解析系の数学、応用数学を広く学んでいきます。 
大学院ゼミでは主に応用調和解析、あるいは数理視覚科学を研究します。

 

主な研究内容 
私自身の研究テーマは、解析学、応用解析学、数理視覚科学、数理視覚科学とAI(人工知能)との関係、画像処理、アートといった分野の融合的研究です。
本研究室の数理視覚科学に関する研究概要を、大学初年級・高校生向けに紹介したビデオ (Waseda Course Channel)

数理視覚科学入門(動画、約10分)

をご覧ください。

 

新井による数理視覚科学の基礎理論構成

 

諸科学技術・社会への応用事例

 

学部ゼミの内容
ゼミの内容は年度によって異なることがあります。本ゼミに入ることを検討する際は、数学科で配布(例年11月頃配布)の学部ゼミ案内をご覧ください。
ゼミは3年次(数学演習1A)、4年次(数学演習2A)の2年間継続です。基礎テキストは1Aで、テキストは2Aで学びます。

2021年度新3年ゼミ
基礎テキスト・テキスト:J.J.Duistermaat and J.A.C.Kolk, Distributions Theory and Applications, Birkhaeuser, 2010

2020年度3年ゼミ
基礎テキスト(20年度):久保川達也著『現代数理統計学の基礎』(共立出版).

2020年度4年ゼミ
テキスト(20年度後半):増田久弥編著『応用解析ハンドブック』(丸善)の第I部基礎編
基礎テキスト(19年度~20年度前半):山田功著『工科のための関数解析』(サイエンス社)

2019年度4年ゼミ(修了)
テキスト(19年度):新井仁之著『ウェーブレット』(共立出版)
基礎テキスト(18年度):A. Bogges and F. J. Narcowich, A First Course in Wavelets with Fourier Analysis, 2nd ed., Wiley.

2018年度4年ゼミ(2017年度石井仁司先生の3年ゼミを引き継ぎ)(修了)
テキスト:E.M.Stein and R. Shakarchi, Real Analysis, Measure Theory, Integration, Hilbert Spaces, Princeton Univ. Press.

 

関連サイト
新井仁之のホームページ

 

0

私の名著発掘 - 書評集

 主に書店あるいは古書店を歩き回り、そこに陳列されている膨大な本の中から今までに発掘した掘り出し物をスローペースで紹介していきます。
テーマは数学、アート、錯視、文学関係です。

 


これまでに発掘した名著一覧(順不同。タイトルをクリックすると紹介文をご覧頂けます。)

★ 公と私 - 吉田松陰
 発掘本:司馬遼太郎著「世に棲む日々,一,二」(文春文庫)
     吉田松陰著「留魂録」(青空文庫)

★ 今はなき確率論のコンパクトな名著 - 鶴見茂著「確率論」
 発掘本:鶴見茂著『確率論、近代確率論への入門』(至文堂)
     「近代数学新書」シリーズ(至文堂)

★「少女終末旅行」の意志と表象としての世界
 発掘本:つくみず著『少女終末旅行』(新潮社)&アニメーション
     ショーペンハウアー著『意志と表象としての世界』(中央公論社)
     ショーペンハウアー著『哲学入門』(旺文社文庫)

★私の微分積分法がすばらしい
 発掘本:吉田耕作著『私の微分積分法 -解析入門』(ちくま学芸文庫)

★グレン・グールドから思うこと
 発掘本: ジョン・P. L. ロバーツ編『グレン・グールド発言集』(みすず書房)
      ティム・ペイジ編『グレン・グールド 著作集2』(みすず書房)

★太宰治と発散級数論
 発掘本:太宰治著『乞食学生』

★出版社とともに消えた名著 測度と積分、関数解析
 発掘本:鶴見茂著『測度と積分』(理工学社)
     宮寺功著『関数解析』(理工学社)

われ童子の時は・・・の句を聞いて。文語体と口語体
 発掘本:文語訳新約聖書(岩波書店)
     Ghost in the Shell / 攻殻機動隊(アニメーション)

★アイヴズの答えのない質問
 発掘本:L. バーンスタイン『答えのない質問』(1973年ハーバード大学での講座
     と実演)(ニホンモニター)DVD(*通販で入手)

★『ロジ・コミックス』 ラッセルとめぐる論理哲学入門が面白い!
 発掘本:ドクシアディス他『ロジ・コミックス ラッセルとめぐる論理哲学入門』
                (筑摩書房)

★マルチンキーヴィッチの悲劇
 発掘本:ジグムント著『作用素の補間に関するマルチンキーヴィッチのある定理について』(純粋・応用数学雑誌 1956年)

★ディーバーな関数論.笠原乾吉著『複素解析』(ちくま学芸文庫)
 発掘本:笠原乾吉著『複素解析 1変数解析関数』(実教出版,ちくま学芸文庫)

★数理科学を学べる本がほしい
 発掘本:アメリカ数理科学研究委員会編『数理科学の世界 数学の新しい可能性』
      (ブルーバックス)

★微分積分学の誕生とニコラウス・クザーヌス
 発掘本:高瀬正仁『微分積分学の誕生』(SBクリエイティブ, 2015)


★あなたにとってのバイブルは?無人島に持ってくとしたら?(1)
 発掘本:スミルノフ『高等数学教程』(共立出版)
                  E. M. スタイン『特異積分と関数の微分可能性』(Princeton Univ. Press,英文)
     L. ヘルマンダー『線形偏微分作用素の解析』(第1巻,Springer,英文)

★数学書売り場が寒い時代に復刊:コルモゴロフ・フォミーンの函数解析の基礎(オンデマンド)
 発掘本:コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎』(岩波書店)

★印象深い確率論の本と伊藤清著「確率論」幻の1953年版
 発掘本:伊藤清著『確率論』(岩波書店、1953)
                  伊藤清著『確率論』(岩波講座「基礎数学」)
     コルモゴロフ著『確率論の基礎概念』(東京図書版、ちくま学芸文庫版)

★お薦めの錯視の本
 発掘本:ニニオ著『錯覚の世界 古典からCG画像まで』(新曜社)他4冊

★文庫で復刊 現代数学への招待 多様体とは何か(志賀浩二著)
 発掘本:表題のもの(岩波書店、ちくま学芸文庫)

★翼よ、あれがパリの灯だ
 発掘本:リンドバーグ著『翼よ、あれがパリの灯だ』(旺文社文庫、恒文社)

★オリジネータの本は違う!メイエの『ウェーブレットと作用素』
 発掘本:Y. Meyer著 "Wavelets and Operators" (Cambridge UP)

★ウェーブレットの数学書、この一冊
 発掘本:P. Wojtaszczyk著 "A Mathematical Introduction to
                   Wavelets" (Cambridge UP).

★バナッハの線形作用素論とサクスの積分論雑感
 発掘本:S. Banach, Theory of Linear Oprations(Dover)
                  S. Saks, Theory of the Integral (Dover)

★宮寺功著「関数解析」の解説
 発掘本:宮寺功著『関数解析』(ちくま学芸文庫)の解説

 

★お薦めの関数解析とウェーブレットの本

 発掘本:W. Rudin, Functional Analysis (McGraw Hill) 他


--------- 自著を語る ----------
☆応用重視の線形代数はどのような内容を講義すればよいか
 自著を語る:新井仁之,線形代数,基礎と応用(日本評論社)

 

☆「これからの微分積分」(新井仁之,日本評論社)のご案内





------------------------
『展覧会の絵 ー「見る」ことを研究し始めた数学者が見た美術の世界』(← Researchmap がにリニューアルされ、アドレスが全部変更になったため、現在修復しております。しばらくお待ちください)

 

0

新しい日常の公開教育プロジェクト 数理科学オープンレクチャーズ

新しい日常の公開教育プロジェクトとして始めた「数理科学オープンレクチャーズ」。

第2回配信は『画像処理の数学 - フーリエ解析篇』です。

どうぞご覧ください。

なおこの「新しい日常の公開教育プロジェクト」は、オンライン授業の利点を活かした公開教育のためのプロジェクトです。個人の発案のため、一人で企画から講義動画制作、配信作業まで行っています。そのため不定期配信となりますが、コンテンツを充実させていく予定です。

0

早稲田 数理科学オープンレクチャー 始動 早稲田大学 新井仁之企画・制作

早稲田 数理科学オープンレクチャー

と題し,主に一般向け講義ビデオ,学生向け講義ビデオ,
学術講演ビデオなどを制作・公開していきます.
第1回配信は
「動画で学ぶフラクタル - 自然数でない次元の世界を垣間見る」
(学生・一般向け)
です.

動画 No.1(約9分)

画像をクリックすると動画がご覧いただけます.

 

動画 No.2(約9分)
表紙2
画像をクリックすると動画がご覧いただけます.

なにしろ予算0円,スタッフ1名(つまり私一人)で行っていますので,
配信は不定期です.次回配信は10月の予定です.

 

 

 

0

早稲田大学教育学部 数学科 1年で学ぶ微積分1A

早稲田大学 教育学部 数学科で学ぶ『微積分1A』(担当教員 新井仁之)
の紹介サイトです.

微積分1A紹介サイト(ここをクリック)

早稲田大学教育学部のオンラインオープンキャンパスの「Pick Up Curriculum!」
で公開中のものです.

オープン講義動画
『動画で学ぶフラクタル - 自然数でない次元の世界を垣間見る』
も「微積分1A紹介サイト」で公開中です.

 

 

0

早稲田大学教旨と数理科学

数理科学に携わるものとして、大隈重信が唱えた早稲田大学教旨の次の件が気に入っています。

早稲田大学は学問の活用を本旨と為すを以て
学理を学理として研究すると共に
之を実際に応用するの道を講し以て
時世の進運に資せん事を期す

1年生の講義の最初に紹介することにしています。
http://www.araiweb.matrix.jp/Lectures/Calculus1AOutline.html

 

0

純粋数学の研究を基礎にした応用数学、数理科学の研究

 2020年度を迎えるにあたって、私の研究と研究室の紹介をしておきたいと思います。

 この十数年、数学は新たな展開を見せています。それは数学の科学・技術・産業への応用です。私は特に脳と視知覚について先端的な数学を使った数理視覚科学とその応用を研究しています。「脳」は現代科学のファイナル・フロンティアの一つです。私の研究テーマは、脳の中の視覚に関する部分の数理モデルの構築、人の視覚を超える「超視覚システム」の開発、画像処理、視覚芸術への応用、人工知能(AI)との融合的な研究です。文理だけでなかく芸術も入る分野横断的な研究と言えるでしょう。また同時にこれらの基盤となる数学そのものも創り研究しています。この部分は純粋数学の研究に他なりません。
 私の場合、大学では主としてこういった方向の純粋数学の研究に基いた諸科学の融合領域の指導をしています。

 一般に純粋数学と応用数学は、その名称が区別されていることからもわかるように、棲み分けがある程度あります(その境界は次第に曖昧になりつつありますが)。私自身、どのような経緯で純粋数学の研究を基礎にした応用研究をするようになったのかといいますと、ちょうど2018年に藤原数理科学賞大賞を頂いたときの受賞者の言葉として日本数学会『数学通信』(2019年2月号)に掲載されたものがあるので、そのときの原稿の一部を再掲しておきます。

  私はもともと調和解析など純粋数学の研究をしていました.しかし21 世紀の日付変更線を跨いだ頃にある転機が訪れ,視覚と錯視の数学的な研究を始めました.最初は既存のウェーブレットを使って研究していたのですが限界を感じ,2009 年頃に新しいフレームレットの一つを構成しました.これに加えて他のアイデアも多く得られ,視覚,錯視をはじめアート,非線形画像処理,超視覚システムへの新たな展開が一挙に開けました.その成果が今回の授賞理由になったものです.
 当初は先が見えない中で,視覚科学,脳科学,心理学,神経科学,画像処理,アートなどを独学で学び始め,さらに手探りで異分野融合研究,技術発明,実用化を進めてきました.このようなことができましたのも,若い頃にひたすら純粋数学の研究をし,純粋数学のセンスを培ったお陰だと思います.

 

0

これからの微分積分と線形代数の教育について 第1回

大学入学時に、理工系学生が最初に学ぶ数学として微分積分と線形代数があります。この教科は、さらに進んだ数学関係の科目を学ぶのに必須なものといえます。

以前より、この基礎的な2科目について、どのような内容で教えるのが良いのか検討をしてきました。拙著『線形代数 基礎と応用』([1])では、一つの捉え方として、この二つの科目を次のように位置づけました。

無限個のデータを扱う数学が解析学であり、有限個のデータを扱う数学が線形代数である。

ここで無限個というのは非可算無限個(あるいは連続無限個)を意味します。これは21世紀に入った時点での見解ですが、これからの社会で数理系の人が活躍するにはデータを扱う数学の素養を身に着けておく必要があると考えたものです。といっても「これからの数理科学では***が必要」といった良くある類の提言だけをしても仕方がなく、大学初年級でどのような線形代数を教育した方が良いのか、その具体的方策を打ち出す必要があると思いました。そこで、数年間の準備を経て、考えを練り上げて、『線形代数 基礎と応用』([1])という本を発表しました。

線形代数の教育プログラム([1])から少し時間がたってしまいましたが、昨年末に微分積分の方も教育プログラムを作成し、『これからの微分積分』([2])として発表しました。[1] から約15年がたち、この間に数理には革命的な事件が起きました。それは深層学習を代表とする機械学習の進歩です。そのため[2]の方では、機械学習の基本の一つで、偏微分に関する事項をプログラムに取り入れ、機械学習のより発展的な理論を学べる一助になるようにしました。

次回以降は線形代数と微分積分の何が重要で、どのような応用例を教育プログラムに入れるのがよいか私見を述べていくことにします。

 

参考文献

[1] 新井仁之、線形代数 基礎と応用、日本評論社、2006  サポートページもご覧ください

[2] 新井仁之、これからの微分積分、日本評論社、2019      サポートページもご覧ください

線形代数これからの微分積分

 


本ブログの画像、文の一部、全部の無断複製・転載を禁止します.

 

 

 

 

0

連載最新作は「みかん、オクラ、ニンニク - スーパーで見られる「色の錯視」を知ってる?」

ITmedia NEWS に連載「コンピュータで"錯視"の謎に迫る」の最新作が公開されました。

第15回です。今回は

『みかん、オクラ、ニンニク──スーパーで見られる「色の錯視」を知ってる? 』

です。

どうぞご覧ください。

水彩錯視を使って作ったねずみどしの錯視の検証動画もあります。

あわせてご覧ください。

 

 

 

0

これからの微分積分(新井仁之,日本評論社)のご案内

「これからの微分積分」は数理科学の時代に即した微積分の本を目指して書いたものです。機械学習への応用なども収録しています。

表紙

今回のブログでは,この本の解説をしながら目次紹介をしたいと思います.なお著者によるサポートページ

http://www.araiweb.matrix.jp/biseki.html

もあり、訂正、補足情報がありますのでご覧ください。

以下は、本の解説です。

 

 

 

第I部微分と積分(1 変数)

ここではまず微分積分の基礎として,関数の極限から学びます.通常の微積分の本では数列の極限から始めることが多いのですが,本書では関数の極限から始めます.その理由はすぐにでも微分に入っていき,関数の解析をできるようにしたいからです.


第1章 関数の極限
1.1 写像と関数(微積分への序節)
1.2 関数の極限と連続性の定義
1.3 ε-δ 論法再論
1.4 閉区間,半開区間上の連続関数について
1.5 極限の基本的な性質

極限の解説をしている章ですが,特に1.3節の『ε-δ 論法再論』では,解析学に慣れてくると自由に使っているε-δ 論法の簡単なバリエーションを丁寧に解説します.このバリエーションについては,慣れてくると自明ですが,意外と初学者の方から,「なぜこんな風に使っていいんですか?」と聞かれることが少なくありません.


第2章 微分
2.1 微分の定義
2.2 微分の公式
2.3 高階の微分


第3章 微分の幾何的意味,物理的意味
3.1 微分と接線
3.2 変化率としての微分.
3.3 瞬間移動しない物体の位置について(直観的に明らかなのに証明が難しい定理)
3.4 ロルの定理とその物理現象的な意味
3.5 平均値定理とその幾何的な意味
3.6 ベクトルの方向余弦と曲線の接ベクトル
3.6.1 平面ベクトル
3.6.2 平面曲線の接ベクトル

第3章は本書の特色が出ているところの一つではないかと思っています.微分,中間値の定理,ロルの定理の物理的な解釈や幾何的な意味について述べてます.また,方向余弦の考え方にもスポットを当てました.


第4章 平均値の定理の応用例をいくつか
4.1 導関数が一致する関数について
4.2 関数の増加・減少の判定
4.3 関数の極限値の計算への応用(ロピタルの定理)

本章では平均値の定理の応用を扱ってますが,ロピタルの定理などは後々,頻繁に使うことになる定理です.

 

第5章 逆関数の微分

第6章 テイラーの定理
6.1 テイラーの定理
6.2 テイラー多項式による関数の近似
6.3 テイラーの定理と関数の接触

テイラーの定理を解説する際に,「近似」という観点と「接触」という観点があることを明確にしてみせています.

 

第7章 極大・極小
7.1 極大・極小の定義
7.2 微分を使って極大・極小を求める


極大・極小を微分を用いて解析することは高校以来,微分の非常に重要な応用の一つとして学んできました.ここでは基本的なことから,テーラーの定理を使って高階微分と極値との関係などを説明しました.応用上重要な多変数関数の極値問題へのウォーミングアップでもあります.


第8章 INTERMISSION 数列の不思議な性質と連続関数
8.1 数列の極限
8.2 上限と下限
8.3 単調増加数列と単調減少数列
8.4 ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
8.5 数列と連続関数
論理と論理記号について
8.6 中間値の定理,最大値・最小値の存在定理
8.7 一様連続関数
8.8 実数の完備性とその応用
8.8.1 縮小写像の原理
8.8.2 ケプラーの方程式への応用
8.9 ニュートン法
8.10 指数関数再論


第8章では数列,実数の完備性,中間値の定理などの証明を与えつつ,イメージを大切にした解説をしました.この章も本書の特徴的なところの一つではないかと思います。
特に,ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理の重要性をアピールしました.また実数の完備性の応用として,縮小写像の原理(不動点定理の一種),ケプラー方程式などについて解説しました.ケプラーの方程式との関連は,実数の完備性が惑星の軌道を近似的に求めるのに使えるということで,インパクトを持って学んでいただけるのではないかと思います(筆者自身,ケプラーの方程式への応用を知ったときは感動した経験がありました).


第9章 積分:微分の逆演算としての積分とリーマン積分
9.1 問題は何か?
9.2 関数X(t) を探し出す
9.3 積分登場
9.4 連続関数の積分可能性
9.5 区分的に連続な関数の積分
9.6 積分と微分の関係
9.7 不定積分の計算
9.8 定積分の計算法(置換積分と部分積分)
9.9 積分法のテイラーの定理への応用
9.10 マクローリン展開を用いた近似計算


次に積分の基礎に入ります.逆接線の問題の物理的バージョンから積分の定義がどのように自然に現れるかを述べました(ここの部分の説明は拙著「微分積分の世界」を元にしました).積分を使ったテイラーの定理の証明も取り上げ,ベルヌーイ剰余ととりわけその変形(この変形はフーリエ解析や超関数論でよく使われる)を解説しました.またマクローリン展開を使った近似計算も述べています.

 

第II部微分法(多変数)
第10章 d 次元ユークリッド空間(多変数関数の解析の準備)
10.1 d 次元ユークリッド空間とその距離.
10.2 開集合と閉集合
10.3 内部,閉包,境界


第11章 多変数関数の連続性と偏微分
11.1 多変数の連続関数
11.2 偏微分の定義(2 変数)
11.3 偏微分の定義(d 変数)
11.4 偏微分の順序交換
11.5 合成関数の偏微分
11.6 平均値の定理
11.7 テイラーの定理


この章で特徴的なことは,ホイットニーによる多重指数をふんだんに使ったことでしょう.多重指数は偏微分方程式などではよく使われる記法です.また2階のテイラーの定理を勾配ベクトルとヘッセ行列で記述し,次章への布石としてあります.


第12章 多変数関数の偏微分の応用
12.1 多変数関数の極大と極小.
12.2 極値とヘッセ行列の固有値
12.2.1 線形代数からの準備
12.2.2 d 変数関数の極値の判定
12.3 ラグランジュの未定乗数法と陰関数定理
12.3.1 陰関数定理
12.3.2 陰関数の微分の幾何的意味
12.3.3 ラグランジュの未定乗数法
12.4 機械学習と偏微分
12.4.1 順伝播型ネットワーク
12.4.2 誤差関数
12.4.3 勾配降下法
12.4.4 誤差逆伝播法(バックプロパゲーション)
12.4.5 平均2 乗誤差の場合
12.4.6 交差エントロピー誤差の場合


本章では前章の結果を用いて,多変数関数の極値問題,ラグランジュの未定乗数法を練習問題とともに詳しく解説しました.また,機械学習への応用について解説しました.これは数理系・教育系の大学1年生に,偏微分が機械学習に使われていることを知ってもらい,AIの勉強へとつながってくれることを期待して取り入れたトピックスです.


第III 部 積分法詳論

第13章 1 変数関数の不定積分

第14章 1 階常微分方程式
14.1 原始関数
14.2 変数分離形
14.2.1 マルサスの法則とロジスティック方程式
14.2.2 解曲線と曲線族のみたす微分方程式
14.2.3 直交曲線族と等角切線
14.2.4 ポテンシャル関数と直交曲線族
14.2.5 直交切線の求め方
14.2.6 等角切線の求め方
14.3 同次形
14.4 1 階線形微分方程式
14.4.1 電気回路
14.4.2 力学に現れる1 階線形微分方程式
14.4.3 一般の1 階線形微分方程式
14.5 クレローの微分方程式

積分を学んだあと,実際に積分を使うことを学ぶという目的で,1階常微分方程式のうち,イメージがつかみやすいものを取り上げて基礎的なことを解説しました.


第15章 広義積分
15.1 有界区間上の広義積分
15.2 コーシーの主値積分
15.3 無限区間の広義積分
15.4 広義積分が存在するための条件

広義積分は積分のなかでも重要なテーマです.さまざまな場面で実際に広義積分を使う場合が多く,またコーシーの主値積分など特異積分論としても応用上重要です.本章は少し腰を落ち着けて広義積分の解説が読めるようにしたつもりです.


第16章 多重積分
16.1 長方形上の積分の定義
16.2 累次積分(逐次積分)
16.3 長方形以外の集合上の積分
16.4 変数変換
16.5 多変数関数の広義積分
数学が出てくる映画
16.6 ガンマ関数とベータ関数
16.7 d 重積分


第17章 関数列の収束と積分・微分
17.1 各点収束と一様収束
17.2 極限と積分の順序交換
17.3 関数項級数とM 判定法
リーマン関数とワイエルシュトラス関数

本章も解析では極めて重要な部分です.あまり深みにはまらない程度に,とにかく使える定理のみを丁寧に解説しました.微分と極限の交換(項別微分)の定理,積分と極限の交換(項別積分)、微分と積分の交換定理は使う頻度が高い定理なので,よく理解しておくことが必要です.(後者の二つはルベーグ積分論でさらに使いやすい形になります。)


第IV部発展的話題

第18章 写像の微分
18.1 写像の微分
18.2 陰関数定理
18.3 複数の拘束条件のもとでの極値問題
18.4 逆関数定理


陰関数定理を不動点定理ベースの証明をつけて解説しました.この証明にはバナッハ空間上の陰関数定理の証明方法を使いました.非線形関数解析への布石にもなっています.逆関数定理の証明は陰関数定理を使ったものです.


第19章 d 重積分と変数変換
19.1 d 次元空間における極座標
19.2 d 変数関数の積分の変数変換の公式

付録A さらに発展的な学習へのガイダンス
付録B 問題の解答
参考文献

 

--------------------------------------------------------------
線形代数については

応用重視の線形代数はどのような内容を講義すればよいか

に拙著『線形代数 基礎と応用』(日本評論社)の解説を載せてあります.

線形代数と微分積分

 

-

0

今はなき確率論のコンパクトな名著 - 鶴見茂著「確率論」

 今回の「私の名著発掘」で取り上げたい本は1964年に至文堂という書店から刊行された鶴見茂著『確率論 近代確率論への入門』(以下、『確率論』)です。
 鶴見先生といえば、以前このコーナーの「出版社とともに消えた名著、測度と積分、関数解析」で紹介した『測度と積分』(理工学社)の著者でもあります。今日の発掘品の場合、ホームページを見ると至文堂さんは健在のようですが、全く残念なことに本は書店から消えた状態です。
 『確率論』は「近代数学新書」というシリーズの中の1冊で、このシリーズは私が学生時代には大きな書店に行くと陳列されておりました。今では書店で見ることはできませんが、理工系学部のある大学の図書館や、神保町の古書店「明倫館」さんには並んでいるようです。
 サイズはおよそ19.2✖13.5cm で、B6よりはやや大きめのハードカバー、その中でも『確率論』はページ数が161頁という薄めの本です。

 

 余談ですが、「近代数学新書」には面白い本がいくつも含まれていて、たとえば、数学者が書いた物理の本として近しく感じた矢野健太郎『相対性理論』、ネットの収束などが勉強できる野口広『位相空間』、皆川多喜造『射影幾何』などが、学生時代なかなか魅力的に感じました。

 さて本題に戻ることにしましょう。『確率論』の特徴ですが、一口に言えば、測度論的な確率論を測度と積分の基礎から無理なく学べる極めて分かり易い入門書です。ここで特に強調したいことは「測度と積分の基礎から」という点です。実際、本書は抽象的な測度論の基礎事項の解説から入っています。といっても確率論的な視点をベースにしていて、たとえば集合は「要素事象の集まり」、σ-集合体は「事象の集まり」、測度は「確率」という舞台設定の下で議論を進めています。そのため「抽象的過ぎてわかりにくい」ということはありません。むしろ、確率論の観点から、σ-集合体や測度の公理が自然なものであることを説いていて、ルベーグ積分の入門書よりわかりやすく測度と積分の勉強ができるかもしれません。
 また確率論の観点から本書を見れば、基礎として必要な不等式や収束定理が手際よく証明され、定義と定理が綺麗に陳列されているので、「あれはどうだったかな」というときにすぐに参照できます。
 解析学から測度論的確率論に入っていくには、絶好の入門書です。
 鶴見先生の「測度と積分」もそうですが、「確率論」が絶版になっているのは、実解析の教育を考えるとき、大きな痛手といえるでしょう。
 

 以下、章を追って「確率論」の良い点を挙げていこうと思います。
 第1章「確率空間」は解析学でいえば「測度空間」の章です。ただ、本書が通常の測度論の本と異なる特徴的な点は、第1章3節「試行、事象、確率」で、確率論として測度空間の公理が必然的なものであることを解説し、その中で二つの数学的な問題を提起していることでしょう。そのうち第1の問題は要するに、確率論的には事象からなる素朴に考えた集合族(有限加法族)$ {\cal F} $ は、必要ならこれに部分集合を加えて

$A_1,A_2,\cdots\in {\cal F} \to \cup_{j=1}^{\infty}A_j,\cap_{j=1}^{\infty}A_j\in {\cal F}$

をみたすべきということです。これは第4節の「有限加法族から生成されるσ-集合体」を考えることにより解決されます。
 第2の問題は、素朴に考えたときの事象の族と確率(有限加法的測度)は完全加法的なものに拡張すべきというものです。これは第6節のコルモゴロフの拡張定理で解決されます。この定理の証明はやや長いものですが、われわれにとってこの定理が何ゆえ必要なのか、そのモチベーションが第3節で説明されているので、無理なく読み通せます。ただこの辺りでは、さすがに確率論のイメージは背後に消え、解析学の測度論の風景の中を進んでいくことになります。
 測度論としてはコルモゴロフの拡張定理を証明したところで一段落するわけですが、確率論なのでさらにもう1節必要になります。それは測度論の本と確率論の本の違いが端的に現れるところで、確率論独特の「条件附確率」と「事象系の独立」です。ここでBayesの定理、ベルヌーイ列などが出てくると、「そうだ、これは確率論の本だった」と思い出させてくれます。
 第2章は「確率変数と平均値」です。つまり裏を返せば「可測関数と積分」となります。確率論的な説明も少しありますが、大半は積分論です。ルベーグの収束定理、ヘルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式、直積測度の存在、フビニの定理が証明されます。
 ここは本質的にはスタンダードな積分入門なのですが、思わず「ちょっと待ってよ」と本を読むのを中断して、ページを勘定したくなります。というのはこれだけの内容が何とわずか24ページで、すっきりとした証明により書き上げられているのです。確率測度に限定されているとはいえ、さすが鶴見先生、と言いたくなってしまいます。
 第3章(p.63)以降はいよいよ確率論プロパーの話になります。第3章は「分布と特性関数」です。測度論的な厳密性を失わず、分布関数、結合分布関数、特性関数、レビの反転公式が扱われ、確率論で頻出の分布の例がだいたい挙がっています。今ではベイズ統計でよく出てくるベータ分布こそありませんが、それは時代を考えれば仕方ないかもしれません。
 第4章は「分布と確率変数の収束」です。確率論でよく使われる収束定理が証明されています。
 第5章「独立確率変数」では、独立確率変数列の各種収束定理と、独立性を特性関数で特徴づける有用なKacの定理が取り上げられています。
 第6章「独立確率変数に関する極限定理」はいわゆる大数の法則、中心極限定理という確率論の重要な定理の証明です。
 そして最後の第7章は「確率過程」ですが、離散パラメータの場合が扱われています。定常系列のエルゴード定理、条件付平均値、マルチンゲール、マルコフ連鎖が登場します。設定は、たとえば有界マルチンゲールの場合の収束定理など限定されているものもありますが、最初は少し緩やかな方が学びやすいことは確かです。
 ここまで本書を読めば、確率論のより詳しい本に進んでいくことは容易になるでしょう。

 「測度って何?」、「ルベーグ積分なんて知らない」という人が、測度論的確率論を学ぶには、この本がお勧めできます。「まずはルベーグ積分を学ばねば」ということはなく、本書でルベーグ積分の基礎も確率論と同時に学ぶことができます。



---------------------------------------------------------------------------
前回までの『私の名著発掘』はこちらへどうぞ



-

0

これからの微分積分 サポートページ

『これからの微分積分』(日本評論社)ISBN978-4-535-78904-3
のサポートページを開設しました.
http://www.araiweb.matrix.jp/biseki.html
をご覧ください.

Q&Aコーナーをはじめ,正誤表等があります.
このほか,現在,発展的なトピックス紹介コーナー,web版演習問題コーナーなども準備中です.

これからの微積分
新井 仁之
日本評論社(2019/11/22)

0

第13回生物教育研究連携講演会@群馬高専

明日です。
第13回生物教育研究連携講演会
視覚と錯視の数理とその応用
新井仁之
2019/12/18(水) 14:30 ~ 16:15
群馬工業高等専門学校 電子情報工学科棟2階大講義
プログラム
14:30~ 群馬高専の生物分野紹介 (ポスター)
15:00~ 講演 (新井仁之)
詳細は
http://www.gunma-ct.ac.jp/renkei/pdf/seibutulec_13.pdf
0

これからの微分積分について.

「これからの微分積分」は数理科学の時代に即した微積分の本を目指して書いたものです。機械学習への応用なども収録しています。

なお著者によるサポートページ 

http://www.araiweb.matrix.jp/biseki.html 

には本の訂正、補足がありますので、ご覧ください。


これからの微分積分
新井 仁之
日本評論社(2019/11/22)


今回のブログでは,この本の解説をしながら目次紹介をしたいと思います.

第I部微分と積分(1 変数)

ここではまず微分積分の基礎として,関数の極限から学びます.通常の微積分の本では数列の極限から始めることが多いのですが,本書では関数の極限から始めます.その理由はすぐにでも微分に入っていき,関数の解析をできるようにしたいからです.


第1章 関数の極限
1.1 写像と関数(微積分への序節)
1.2 関数の極限と連続性の定義
1.3 ε-δ 論法再論
1.4 閉区間,半開区間上の連続関数について
1.5 極限の基本的な性質

極限の解説をしている章ですが,特に1.3節の『ε-δ 論法再論』では,解析学に慣れてくると自由に使っているε-δ 論法の簡単なバリエーションを丁寧に解説します.このバリエーションについては,慣れてくると自明ですが,意外と初学者の方から,「なぜこんな風に使っていいんですか?」と聞かれることが少なくありません.


第2章 微分
2.1 微分の定義
2.2 微分の公式
2.3 高階の微分

第3章 微分の幾何的意味,物理的意味
3.1 微分と接線
3.2 変化率としての微分.
3.3 瞬間移動しない物体の位置について(直観的に明らかなのに証明が難しい定理)
3.4 ロルの定理とその物理現象的な意味
3.5 平均値定理とその幾何的な意味
3.6 ベクトルの方向余弦と曲線の接ベクトル
3.6.1 平面ベクトル
3.6.2 平面曲線の接ベクトル


第3章は本書の特色が出ているところの一つではないかと思っています.微分,中間値の定理,ロルの定理の物理的な解釈や幾何的な意味について述べてます.また,方向余弦の考え方にもスポットを当てました.


第4章 平均値の定理の応用例をいくつか
4.1 導関数が一致する関数について
4.2 関数の増加・減少の判定
4.3 関数の極限値の計算への応用(ロピタルの定理)

本章では平均値の定理の応用を扱ってますが,ロピタルの定理などは後々,頻繁に使うことになる定理です.


第5章 逆関数の微分

第6章 テイラーの定理
6.1 テイラーの定理
6.2 テイラー多項式による関数の近似
6.3 テイラーの定理と関数の接触

テイラーの定理を解説する際に,「近似」という観点と「接触」という観点があることを明確にしてみせています.

第7章 極大・極小

7.1 極大・極小の定義
7.2 微分を使って極大・極小を求める


極大・極小を微分を用いて解析することは高校以来,微分の非常に重要な応用の一つとして学んできました.ここでは基本的なことから,テーラーの定理を使って高階微分と極値との関係などを説明しました.応用上重要な多変数関数の極値問題へのウォーミングアップでもあります.


第8章 INTERMISSION 数列の不思議な性質と連続関数
8.1 数列の極限
8.2 上限と下限
8.3 単調増加数列と単調減少数列
8.4 ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
8.5 数列と連続関数
論理と論理記号について
8.6 中間値の定理,最大値・最小値の存在定理
8.7 一様連続関数
8.8 実数の完備性とその応用
8.8.1 縮小写像の原理
8.8.2 ケプラーの方程式への応用
8.9 ニュートン法
8.10 指数関数再論


第8章では数列,実数の完備性,中間値の定理などの証明を与えつつ,イメージを大切にした解説をしました.この章も本書の特徴的なところの一つではないかと思います。
特に,ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理の重要性をアピールしました.また実数の完備性の応用として,縮小写像の原理(不動点定理の一種),ケプラー方程式などについて解説しました.ケプラーの方程式との関連は,実数の完備性が惑星の軌道を近似的に求めるのに使えるということで,インパクトを持って学んでいただけるのではないかと思います(筆者自身,ケプラーの方程式への応用を知ったときは感動した経験がありました).


第9章 積分:微分の逆演算としての積分とリーマン積分
9.1 問題は何か?
9.2 関数X(t) を探し出す
9.3 積分登場
9.4 連続関数の積分可能性
9.5 区分的に連続な関数の積分
9.6 積分と微分の関係
9.7 不定積分の計算
9.8 定積分の計算法(置換積分と部分積分)
9.9 積分法のテイラーの定理への応用
9.10 マクローリン展開を用いた近似計算


次に積分の基礎に入ります.逆接線の問題の物理的バージョンから積分の定義がどのように自然に現れるかを述べました(ここの部分の説明は拙著「微分積分の世界」を元にしました).積分を使ったテイラーの定理の証明も取り上げ,ベルヌーイ剰余ととりわけその変形(この変形はフーリエ解析や超関数論でよく使われる)を解説しました.またマクローリン展開を使った近似計算も述べています.

 

第II部微分法(多変数)
第10章 d 次元ユークリッド空間(多変数関数の解析の準備)
10.1 d 次元ユークリッド空間とその距離.
10.2 開集合と閉集合
10.3 内部,閉包,境界

第11章 多変数関数の連続性と偏微分
11.1 多変数の連続関数
11.2 偏微分の定義(2 変数)
11.3 偏微分の定義(d 変数)
11.4 偏微分の順序交換
11.5 合成関数の偏微分
11.6 平均値の定理
11.7 テイラーの定理


この章で特徴的なことは,ホイットニーによる多重指数をふんだんに使ったことでしょう.多重指数は偏微分方程式などではよく使われる記法です.また2階のテイラーの定理を勾配ベクトルとヘッセ行列で記述し,次章への布石としてあります.


第12章 多変数関数の偏微分の応用
12.1 多変数関数の極大と極小.
12.2 極値とヘッセ行列の固有値
12.2.1 線形代数からの準備
12.2.2 d 変数関数の極値の判定
12.3 ラグランジュの未定乗数法と陰関数定理
12.3.1 陰関数定理
12.3.2 陰関数の微分の幾何的意味
12.3.3 ラグランジュの未定乗数法
12.4 機械学習と偏微分
12.4.1 順伝播型ネットワーク
12.4.2 誤差関数
12.4.3 勾配降下法
12.4.4 誤差逆伝播法(バックプロパゲーション)
12.4.5 平均2 乗誤差の場合
12.4.6 交差エントロピー誤差の場合


本章では前章の結果を用いて,多変数関数の極値問題,ラグランジュの未定乗数法を練習問題とともに詳しく解説しました.また,機械学習への応用について解説しました.これは数理系・教育系の大学1年生に,偏微分が機械学習に使われていることを知ってもらい,AIの勉強へとつながってくれることを期待して取り入れたトピックスです.


第III 部 積分法詳論

第13章 1 変数関数の不定積分

第14章 1 階常微分方程式
14.1 原始関数
14.2 変数分離形
14.2.1 マルサスの法則とロジスティック方程式
14.2.2 解曲線と曲線族のみたす微分方程式
14.2.3 直交曲線族と等角切線
14.2.4 ポテンシャル関数と直交曲線族
14.2.5 直交切線の求め方
14.2.6 等角切線の求め方
14.3 同次形
14.4 1 階線形微分方程式
14.4.1 電気回路
14.4.2 力学に現れる1 階線形微分方程式
14.4.3 一般の1 階線形微分方程式
14.5 クレローの微分方程式

積分を学んだあと,実際に積分を使うことを学ぶという目的で,1階常微分方程式のうち,イメージがつかみやすいものを取り上げて基礎的なことを解説しました.


第15章 広義積分
15.1 有界区間上の広義積分
15.2 コーシーの主値積分
15.3 無限区間の広義積分
15.4 広義積分が存在するための条件

広義積分は積分のなかでも重要なテーマです.さまざまな場面で実際に広義積分を使う場合が多く,またコーシーの主値積分など特異積分論としても応用上重要です.本章は少し腰を落ち着けて広義積分の解説が読めるようにしたつもりです.


第16章 多重積分
16.1 長方形上の積分の定義
16.2 累次積分(逐次積分)
16.3 長方形以外の集合上の積分
16.4 変数変換
16.5 多変数関数の広義積分
数学が出てくる映画
16.6 ガンマ関数とベータ関数
16.7 d 重積分

第17章 関数列の収束と積分・微分
17.1 各点収束と一様収束
17.2 極限と積分の順序交換
17.3 関数項級数とM 判定法
リーマン関数とワイエルシュトラス関数

本章も解析では極めて重要な部分です.あまり深みにはまらない程度に,とにかく使える定理のみを丁寧に解説しました.微分と極限の交換(項別微分)の定理,
積分と極限の交換(項別積分)、微分と積分の交換定理は使う頻度が高い定理なので,よく理解しておくことが必要です.(後者の二つはルベーグ積分論でさらに使いやすい形になります。)


第IV部発展的話題

第18章 写像の微分
18.1 写像の微分
18.2 陰関数定理
18.3 複数の拘束条件のもとでの極値問題
18.4 逆関数定理


陰関数定理を不動点定理ベースの証明をつけて解説しました.この証明にはバナッハ空間上の陰関数定理の証明方法を使いました.非線形関数解析への布石にもなっています.逆関数定理の証明は陰関数定理を使ったものです.


第19章 d 重積分と変数変換
19.1 d 次元空間における極座標
19.2 d 変数関数の積分の変数変換の公式

付録A さらに発展的な学習へのガイダンス
付録B 問題の解答
参考文献

なお本書の補足情報と訂正情報が
http://www.araiweb.matrix.jp/biseki.html
にあります.適宜更新しますので,ご覧ください.



--------------------------------------------------------------
線形代数については

『応用重視の線形代数はどのような内容を講義すればよいか』

に拙著『線形代数 基礎と応用』(日本評論社)の解説を載せてあります.


0

「これからの微分積分」についてコメント

「これからの微分積分」(日本評論社)は,大学1年生向け微積分の教育に
関する一つの新しいプログラムです。
基礎から応用までの生き生きとした素材や、微積の授業の中に機械学習への
応用を組み入れる具体的な案の提示でもあります。

これからの微積分
新井 仁之
日本評論社(2019/11/22)


なお本書の補足情報と訂正情報が
http://www.araiweb.matrix.jp/biseki.html
にあります.適宜更新しますので,ご覧ください.

-----------------------------------------------------------------------------------------
本ブログの文・画像の一部または全部の無断転載を禁止します.
0

「これからの微分積分」が出版されました

『これからの微分積分』(日本評論社)が発売されました。
微分積分とそれに関するいろいろなことを書きました。
機械学習への応用を扱った節もあります。
https://www.amazon.co.jp/dp/4535789045




-----------------------------------------------------------------------------------------
本ブログの文・画像の一部または全部の無断転載を禁止します.
0

お知らせ:第13回生物教育研究連携講演会

第13回生物教育研究連携講演会
視覚と錯視の数理とその応用
新井仁之
日 時: 2019年 12月18日(水)
14:30 ~ 16:15 (14:00 開場・受付)
14:30~ 群馬高専の生物分野紹介 (ポスター)
15:00~ 講演 (新井仁之)
会場:群馬工業高等専門学校 電子情報工学科棟2階大講義
詳細はこちらをご覧ください
0

わせだイリュージョンミュージアム開催中

早稲田祭2019で『わせだイリュージョンミュージアム』を開催中です.
テーマは「数学から見る錯視の世界」です.
場所は早稲田大学・戸山キャンパス 33号館 131室.
戸山キャンパスは地下鉄東西線「早稲田駅」下車,または
学バス(高田馬場駅前発)の馬場下町下車徒歩3分ほどの
ところにあります.
ただ早稲田祭開催期間中は,道路(歩道)の混雑のため少し時間が
かかるかもしれません.

0

「少女終末旅行」と「意志と表象としての世界」

ショーペンハウアーの哲学書『意志と表象としての世界』([1]) は
「世界は私の表象である」
という有名な言葉で始まります。
これはとても寂しく悲しい言葉だったのです。
この本は昔から時折読んでいたのですが、このことに今の今まで気づきませんでした。
もしも世界が私の表象であるならば、世界はとても狭く、私が消えれば世界も消えてしまいます。
『いや、そんなことはない。君が死んでも世界はずっと続くに決まっているじゃないか。』
そう反論されるのは目に見えています。多分私がいなくなっても世界は続くのかもしれません。しかし、それはほんの少しばかり私よりも長生きするであろうあなたの表象する世界であって、私の世界ではないのです。
そして、もしあなたが死んだとしても、確証はありませんが、さらに別の人の表象する世界は存在するのでしょう。まるで永遠に解析接続されていく関数のように、小さな表象の世界が延々と繋がっていくのかもしれません。
確かなことは私が消えれば、私の表象としての世界は無くなるということです。そしてもし世界の生物がすべて死に絶え、私が最後の一人だとすると、私がいなくなったらもはや表象としての世界も永遠に消え去ってしまうのです。
そうだとすると、「世界は私の表象である」という主張はとても寂しいものではないでしょうか。

こんなことを感じたのは、つくみず著『少女終末旅行』という漫画を読んだからです。
じつは先日、『少女終末旅行』という連続アニメをつられて見はじめ、とても面白いので最後の回まで見続けてしまいました。ところがこのアニメは物語の途中で最終回を迎えてしまいます。結末が分からないのです。そのため、どうにも気になり、アニメ化されていない最後の部分をコミックで読みました。
詳しいストーリーは明かさない方が良いと思うので言いませんが、主人公は二人の女の子、ちーちゃんとゆーちゃんです。二人は誰もいない世界(ただ旅の途中で別の二人の人には会いますが)にいます。そして、何があるのかわからない世界の上層を目指して旅をしています。ちーちゃんは本好きで、旅の途中『意志と表象としての世界』を拾います。本はもうほとんど世界に存在せず、貴重なものなのです。しかし、やがて拾った本やもともと持っていた本も、それに大切につけていた日記帳も燃料代わりに燃やさざるをえなくなります。
最後の方の場面で、ちーちゃんはゆーちゃんに言います。

『・・・私不安だったんだ。こんなに世界は広いのに・・・何もしらずに自分が消えてしまうのが・・・だけどあの暗い階段を登りながらユーの手を握ってたら自分と世界が一つになったような気がして・・・それで思った・・・見て触って感じられることが世界のすべてなんだって・・・よくわかんないよね・・・こんなこと言っても』
『わかるよ 私もずっとそれを言いたかった気がする。』
『・・・ユーのくせに』
『あ 日が』
(『少女終末旅行』第6巻より)

何かとても悲しく寂しい会話です。

正直なことを言うと、私は中学のときに哲学に興味をもち、最初に手にした本はショーペンハウアー『哲学入門』(旺文社文庫)でした。この本は「意志と表象としての世界」の抄訳でした。(このとき購入した旺文社文庫はいつの間にか紛失してしまったので、手元にあるのは中央公論社版です。)それ以来、何度となく抜き読みしていたのですが、この本の最初の部分はある意味認識論のようなことが書き連ねてあって、私自身は人の認識のメカニズムに関する学説ばかりに目が向いていました。
「世界は私の表象である」
『少女終末旅行』はこの思想に別の側面が潜んでいることを気付かせてくれた漫画です。
他にもちーちゃんとゆーちゃんの会話には趣きがあり印象に残る言葉がいっぱい含まれています。
アニメの音楽(末廣健一郎氏)もすごく雰囲気を出していて良いものです。
「少女終末旅行」は何か普通の漫画を超えたすばらしい作品だと思います。

文献:[1] ショーペンハウアー『意志と表象としての世界』(西尾乾二訳、中央公論社)

前回までの『私の名著発掘』はこちらへどうぞ

---------------------------------------------------
本ページの一部または全部の無断転載を禁止します.
 

0

わせだイリュージョンミュージアム

第1報

早稲田祭2019
わせだイリュージョンミュージアム
テーマ:数学から見る錯視の世界
場所:33号館 131教室(戸山キャンパス*)
期間:11月2日(土)、3日(日)(10時から17時)
 *) 戸山Cは東西線「早稲田駅」徒歩3分程度、文学部、  
       早稲田アリーナがあるところです.


-
0

数理科学 現代数学の捉え方[解析編](最新号)

『数理科学』(サイエンス社)最新号 
特集 現代数学の捉え方 [解析編] - いかにして問題を設定していくか
発売されました。

「巻頭言 数学の内部と外部からの問題設定」
を執筆しています。

http://www.saiensu.co.jp/?page=magazine&magazine_id=1  (立ち読みコーナーもあります。)

数理科学 2019年 10 月号 [雑誌]
サイエンス社(2019/09/20)


0

秋は秋茄子と文字列傾斜錯視


秋は秋茄子ですね.
ということで今日は秋茄子を題材に文字列傾斜錯視を考えてみました.
文字列傾斜錯視は文字列が水平に並んでいるにもかかわらず,傾いて見える錯視のことです.これは日本のインターネットに現れた日本発の錯視です.
どのような文字列でも傾いてみえるわけではありません.実際,本やネットを読んでいても文字列が傾いて見えることはほとんどありません.しかし,文字列によっては傾いて見えるものもあります.たとえば


アキナースアキナースアキナース
アキナースアキナースアキナース

ーナキアスーナキアスーナキアス
ーナキアスーナキアスーナキアス

アキナースアキナースアキナース
アキナースアキナースアキナース

ーナキアスーナキアスーナキアス
ーナキアスーナキアスーナキアス


並行なのに傾いて見えませんか
(パソコンの環境によっては傾いて見えない場合があります.)
文字列傾斜錯視の数学を用いた私の研究については
ITmedia NEWS
https://www.itmedia.co.jp/news/articles/1710/12/news030.html
をご覧ください.
0

眠れぬ夜のための錯視

今年がカール・ヒルティの没後110年ということもあり、ヒルティの著書『眠られぬ夜のために』にちなんで、眠れない夜に錯視にいろいろと思いを巡らせていこうというサイトです。
眠れぬ夜のための錯視
今回は第一話としてザンダー錯視をメタモルフォーズする話を書きました。
0

掛谷問題のはじまり -武士は厠で槍を回転させたか -

独自の調査に基づき、掛谷宗一氏が掛谷の問題をどのように思いついたのか、当時の様子を再現しながらわかるように書いたものです。
『掛谷問題のはじまり』(新井仁之)
実際は武士が厠で槍を1回転させるエピソードとは異なるようです。
数学セミナー(2002年8月号)に掲載された拙稿に基づくものです。


0

あなたにとってのバイブルは?無人島に持ってくとしたら?(1)

 気の置けない仲間と会ったときに,「自分にとってのバイブルは?」,「無人島に行くとしたらどの本をもって行く?」といったことを談義したことがありました.無人島に持っていく本のときは,それぞれの嗜好が如実に現れたものです.たとえば,正確な書名は忘れましたが中国の詩選集のようなものを挙げた人などは,昔から完全な漢詩オタクでした.だいぶ前のことになりますが,この人が中島敦がスゴイぞと言って,押し売りしてきたときなど,いくつか小説を読まなければならない羽目になったこともあります.さすがに白楽天,王維などは受け流すだけでお付き合いはできませんでしたが.
 別の友人で,大変な読書家の御仁は意外にもポー全集をあげてきました.しかし無人島でいつ帰れるのかわからず,ひょっとしたらこんなところで朽ち果てることになるかもしれない,そのようなときにポー三昧はさすがに避けたいような気がします.ほかに「俺の書いた戯曲」なんて人もいました.
 そんな中で,私が答えたのはスミルノフの『高等数学教程』全12巻でした.そのときはなぜかこれがすぐに頭に浮かび,迷うことなく挙げました.どんな本かと聞かれ,とっさに思い付きで次のようなことを言ったような記憶があります.
 「この本は,日本人の書いたスッキリした本とは大違いで,最初の関数の定義あたりから,何やら応用,実用の例が盛りだくさんで,そのうえまた解説がくどく,先が見えない長編小説のようなものですね.蕎麦屋でもりそばをツルリというのが日本人の本だとすると,日本のロシア料理店で食べるフルコースのような違いかもしれない.(残念ながら本場のロシア料理は食べたことがありません.)」
 高等数学教程は無人島に行く羽目になったら,第1巻からじっくり読んでみたいとそのときは思っていました.ただ数学に興味のない人にとっては,私にとっての漢詩よりも更に悪いものだったと思います.
 しかしながら,無人島に行ってこの数学の入門書しかなかったら,案外はまる人も多いかもしれません.

 「バイブルは?」これにはさすがに数学の本は挙げませんでしたが,もしも数学書が許されたなら,多分,次の2冊を今でも挙げるでしょう.
 一つは,E. M. スタインの『特異積分と関数の微分可能性』(E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions),もう一つは L. ヘルマンダーの『線形偏微分作用素の解析』(L. Hörmander, The Analysis of Partial Differential Operators)の第1巻です.
 スタインの本なら,今だったら大著『調和解析 - 実解析的方法,直交性,そして振動積分』もありますが,やはり私にとっては『特異積分と関数の微分可能性』(以下,『特異積分』と略記)です.本の内容というよりは,こちらの本の方がいろいろな思い出があるという個人的な理由によります.

 『特異積分』は大学院生の頃からつまみ食いはしていましたが,最初に印象付けられたのは,学位を取得して間もなくの頃です.プリンストン大学のスタイン先生のところに visiting fellow として行っていたときに,X先生の大学院の講義を聴いていたら,「これについては the book に書いてある」と言っていました.特に断りもありませんでしたが,これは言うまでもなく『特異積分』のことです.「the book」と強調していたので印象に残りました.このX先生,気さくなところもある方でした.私に「お前は日本人か?」と聞いてきたので,「そうです」と答えたところ,「TsujiのPotential Theory を読んだか?」とさらに言ってきました.辻正次『複素函数論』(槇書店)には学部の頃から大分お世話にはなっていましたが,Potential Theoryは読んでいなかったので,「いえ」というと「Tsuji のPotential Theory を読んでなければ数学者じゃない.ぜひ全部読め」と笑っていました.冗談めかして言っていたようにも感じましたが,じつは本気で言っていたのかもしれません.早速,図書室に行ったことはいうまでもありません.
 
 『特異積分』に本格的にお世話になったのは,その少し後でした.スタイン先生にLusinの面積積分作用素の境界値問題への応用に関する問題を出され,『特異積分』を片手に必死に考えたときです.1か月くらいしてスタイン先生の研究室に行くと,「最近,見かけなったけどどうしていたのか」と聞かれたので「この前出された問題を考えていて,解きました」と答えると,早速話をさせられました.
 ついでに言いますと,『特異積分』の中で個人的にとても面白いと思ったのは,滑らかな関数の拡張に関する章です.この部分は東京大学に移ってから大学院で講義をしました.まだフェファーマンの一連の仕事はなかったので,講義したのは古典的な話でした.

(続く)

前回までの『私の名著発掘』はこちらへどうぞ
---------------------------------------------------
本ページの文の一部・全部の無断転載を禁止します.
 

0

西早稲田にあるのは西早稲田キャンパスではなく,早稲田キャンパス

昔,早稲田大学理工学部のあるキャンパスは「大久保キャンパス」と言っていました.おそらく比較的最近,「大久保キャンパス」を改め「西早稲田キャンパス」としました.
さて,私の居る「早稲田キャンパス」(時計台や大隈銅像のある方)は西早稲田にあります.住所が西早稲田です.つまり「西早稲田キャンパス」は西早稲田にはなく大久保にあり,西早稲田にあるのは「早稲田キャンパス」です.
ちなみに都バスのバス停「西早稲田」は「早稲田キャンパス」に近接して,西早稲田にありますが,副都心線の「西早稲田」は「西早稲田キャンパス」の前にあり,西早稲田にはありません.
人から聞いた話ですが,西早稲田に行きたくタクシーで「西早稲田」と行ったら,西早稲田から離れた「西早稲田キャンパス」に連れていかれたとか.試しにタクシーに乗って,「西早稲田」と言ったら,そのときは迷うことなく「西早稲田キャンパス」のない本当の西早稲田(住所が西早稲田という意味)に行ってくれました.
初めて(あるいは久々に)早稲田大学に行かれる方はお気をつけください.
0

ウォーホルの作品にインスパイアされた錯視アート作品

アンディ・ウォーホルの『キャンベルのスープ缶』にインスパイアされて作成した錯視作品『 キャンベルのスープ缶の浮遊錯視 』(新井仁之・新井しのぶ作)です.こちらをご覧ください.⇩
https://twitter.com/arai20092/status/1138986401611956224

数学的方法による浮遊錯視生成技術(新井仁之・新井しのぶ)を用いて作成したものです.
0

TeXで仕事して感じたこと

TeXで数十頁前を少し修正する.dviにするとその近傍では行が変わったり文書の様子が変わる.しかし数十頁後のレイアウトには何も影響がない.もしタイムマシンがあって,それを使って過去に戻って,多少過去を変えても現在の自分には何も影響がない場合があるかもしれない.TeXで仕事しながらそんなことが脳裏をかすめました.
Wordで文書を作成していても,そんなことは感じたことはありません.TeXの場合,コンパイルする間の微妙な時間がそう感じさせるのでしょう.
雑談です.
0

数学書売り場が寒い時代に復刊:コルモゴロフ・フォミーンの函数解析の基礎(オンデマンド)

 最近、職場が変わったため、神保町に行く機会がめっきり減ってしまい、悪いことには近所にまとまった数学書を置いてある書店がなく、仕事の帰りに数学書を漁るという楽しみは失われてしまいました。しかしその要因は私個人の環境の変化によるものだけではないようです。かつては数学書をたくさん揃えていた書店の多くが、軒並み数学書売り場を大幅に縮小し、その代わりにプログラミングや人工知能関係、コミックの売り場を拡大しているという時代の趨勢もあります。深層学習や Pyhtonの本を渡り歩くのも楽しいのですが、何かそれだけでは物足りなさも感じられます。
 さらには、そうでなくとも脇に追いやられてしまった数学書売り場が、また別のことでかわいそうな状況に陥っています。まるでビジネスのハウツーもののような数学書が大いに幅を利かせているのです。大勢の人たちの役に立つハウツーものが大きな顔をして、重要ではあるが少数のニーズしかない書籍は駆逐されつつあります。それが市場の原理というものなのかもしれません。書店さんの大きな役割の一つは、多くの人が興味をもつ本をできるだけ多くの人に提供するということでしょからやむを得ないことではあります。

 そんな中、岩波書店のオンデマンドで、コルモゴロフとフォミーンによる『函数解析の基礎』上、下(山崎三郎・柴岡泰光訳)が復刊されることを知りました(岩波書店HPによると6/11発売)。オンデマンドのため、特別な書店以外に陳列されることはないと思いますので、今日はこの本について紹介してみようと思います。

本の写真
学生時代に購入した1979年刊行の第1刷の写真。昔は箱入りだった(筆者撮影)


1. 集合・位相、実解析、関数解析の融合的教育
 関数解析は20世紀に生まれた解析学で、解析系のかなりの分野がその影響を受けています。関数解析は複素関数論、ルベーグ積分論と共に解析学の根幹をなす基礎的な分野といえるでしょう。そのため、教科書も内外で数多く出版され、Dunford-Schwartzの Linear Operators I, II, IIIのような大著から、K. Yosida, Functional Analysisのような定番ロングセラーまで様々な切り口の優れた本が乱立しています。
 そのような中で本書、コルモゴロフ・フォミーンの『函数解析の基礎』は面白い立ち位置にあります。訳者まえがきによれば、この本の原題の訳は『函数の理論および函数解析の基礎』とのことです。つまり、関数解析プロパーの本というよりは、集合、位相、ルベーグ積分、関数解析も含めた実解析系解析学(要するに複素関数論は含まない解析)の融合的な入門書をねらったものとなっています。融合的と申しますのは次のようなことです。多くの数学科では、「集合・位相」、「測度と積分(いわゆるルベーグ積分論)」、「関数解析」は独立した科目になっています。まず「集合・位相」を勉強して、それとは別に「ルベーグ積分」があって、「関数解析」があるというものです。担当教員も通常異なります。ところが、この本では、これらの話題が独立したものとしてではなく、混然一体となって話が展開されていきます。
 まず集合から始まり、次に距離空間と位相空間に入りますが、出てくる具体例は解析関係の関数空間や積分方程式などばかりです。その後、ノルム空間と位相線形空間が現れ、弱位相、超関数まで一挙に進みます。それから線形作用素の一般論です。そしてここで突然、測度と積分に入ります。これで訳書の場合は上巻が終わります。本文のページ数にして326ページです。
 次に下巻に入ります。下巻のページ数は索引・文献・目次を除けば222ページなので、厚さは上巻のおよそ3分の2、物理的にやや薄めになっています。しかし内容は厚く、ルベーグ積分の続論と、関数解析の応用が扱われています。じつはその部分が非常に面白いところなのですが、詳しくは改めて次節で紹介いたします。
 他国の状況はよく知りませんが、先に述べたように日本では「集合・位相」、「ルベーグ積分」、「関数解析」は独立して教えられているので、コルモゴロフ・フォミーンのような融合型の授業はしづらいかもしれません。また、たとえばもしもこの本で集合・位相を教えようとすると、特に「位相」では出てくる例が(解析の本だから当たり前ですが)解析分野に偏っているので、代数系、幾何系の教員の方々の不評を買うことになるでしょう。ただ、集合・位相を学ぶにしても、それが積分方程式や微分方程式の話に直結しているので、「何のためにこんな抽象的なことを延々とするの!?」という疑問は起こらないように思えます。
 こういった大学数学教育の状況は別として、上巻はじっくり読めば距離、位相、関数解析、実解析の基礎が身に付くはずです。

2. もの凄い下巻  - 線形から非線形へ -
 さて、コルモゴロフ・フォミーンの本のうち、上巻もさることながら下巻が凄いものになっています。特に下巻の第7章から第10章です。
 第7章はL1空間、L2空間のことが書かれていますが、それは表向きで、大半は三角関数系、若干の直交多項式の話で、何とRademacher-Walshの直交関数系の完備性にまで言及されています。それから第8章のFourier級数、Fourier変換の章がまた凄い。Fourier級数の収束などは、他の多くの本では読むのがしんどいものですが、本書ではすんなりと自然体で流れるように読むことができます。熱方程式への応用や確率論への応用、超関数のフーリエ変換にまで触れていて、この短いページ数によくこれだけ要領よく書けたものだと感心せざるをえません。しかも詰め込み感は全くありません。どことなくスカスカに記述されているのに、内容が濃いというものです。
 じつは、よく考えてみるとフーリエ解析が出色なのも当たり前のことで、コルモゴロフと言えば、若い頃はフーリエ解析で鳴らした古典調和解析のつわものです。ところで当時の応用数学の巨人といえば、ウィーナーとコルモゴロフが思い浮かびますが、どちらも古典調和解析の研究を初期の若い頃に行っていました。このことには偶然以上のものがあると思います。ちなみに確率解析で有名なマリアヴァンも古典調和解析から出発しています。なぜ古典調和解析なのか、このへんのことはまた別の機会に述べたいと思います。
 続いて積分方程式のFredholm理論が解説され、そして最終章(第10章)「線形空間における微分法の基礎」になります。ここは本書の中でも非常に特徴的な部分で、おそらくこの章は著者たちが最も書きたかったところではないかと思えます(あくまでも私見です)。当時、関数解析の入門書といえば線形理論が主流でしたが、第10章は教科書としては異色の非線形理論でした。私自身は関数解析、実解析は別の本で学びましたが、それにもかかわらず本書を手に取った大きな理由は、第10章にひかれたからです。
 10章はまずフレッシェ微分、ガトー微分から入り、Banach空間上の陰関数定理が証明されます。次にBanach空間の接多様体に関する Lusternikの定理が、特別な場合に限定されていますが証明され(その方が初学者には断然わかりやすい)、極値問題、特にBanach空間におけるLagrangeの乗数法が扱われます。Banach空間の写像に対するニュートン法にも触れられています。極値問題では、変分法、最適制御、凸計画法などへの応用が仄めかされていますが、詳細はさすがに論じられていません。(この辺のことをさらに学ぶには、 Luenberger『関数解析による最適理論』(コロナ社)が良いと思うのですが、残念ながら今は販売されていないようです。)

3. 今またコルモゴロフ・フォミーンが新しい!
 関数解析の非線形理論は応用系・情報系・工科系からも興味をもたれています。コルモゴロフ・フォミーンの本は、集合・位相、実解析、関数解析の自然な融合体であることを考えると、数学科だけでなく、情報、工学系の人にとっても良いテキストたり得るもので、今の時代に大いにフィットした入門書と言えるでしょう。
 本書の原書第4版は今から40年以上昔の1976年に出版されています。その前身の第2版に至っては1962年、50年以上前に書かれたものです。40年も前の本が今の時代の視点から見ても斬新であるというのは、第一級の数学者である著者が、将来この分野を学ぶものにとって何が重要であるかをしっかりと見据えていたからだといえるでしょう。そして、それはまた数学は古いけれども、常に新しい学問で、時代の潮流とは関係なく基本的に重要なのものであるからだとも言えます。

4. これからの数学教育について少し雑談
  ところで数学の教育内容として何が重要かという議論は往々にして、現在は「・・・」がブレークしているからとか、海外ではどうだとかこうだとか、そんなものになりがちです。しかし時代や海外動向に敏感な議論は、現在の情勢に束縛されるあまり、ときとしてそこから導き出される結論が、時代や世界を先んずるものではなく、後発的なもの、場当たり的なもの、先進的な国の劣化した二番煎じになる危険性がないともいえません。単なる模倣が良いところを取り入れていることにはなっていない場合もあります. 
 数学は人類が得た宇宙共通の真理であり、必然的に自然を解明し、技術を支えるものになっています。したがって数学の教育内容として何が将来的に重要かは、数学の特性、そして数学が現在までに科学・技術に応用されてきた(されている)メカニズムをよく研究したうえで考えることにより、本質的なものが見えてくるはずです。そうすれば、100歩も、200歩も時代の先を行くための数学の素養を持つ人材が育つような教育も可能になるでしょう。

 話が本題から大分脱線し始めてきたので、そろそろ今回の本の紹介も終えることにしたいと思います。

5. おわりに
 何にしても、書店に足を運ぶと、軽く読めばすぐにわかる程度の内容が書かれた面白数学本ばかりではなく、前時代的な古臭い考えではありますが、将来50年後の人たちが「50年前にこんなすごい数学書があったんだ」と言うような数学の本も数多く手に取ることができるとよいように思えます。そしてひと時代前の、そういう本がいろいろな書店で見かけることのできた、何事も悠長だった頃が懐かしい気がします。


前回までの『私の名著発掘』はこちらへどうぞ


---------------------------------------------------
本ページの画像,文の一部・全部の無断転載を禁止します.リンクはフリーです.

.

0
カウンタ
5 2 1 5 2 0