2011年度は微積分II(2学期・物理対象)、数学外書輪講(1～3学期)、関数論(1・2学期)、解析学III(大学院・1～3学期)を担当しました。

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更新がかなり遅れたので概要だけ。

2月13日は Fuchs の関係式とアクセサリーパラメータの数え上げ。
2月20日はモノドロミー群、モノドロミー表現の定義。
2月27日は例として2階のオイラー方程式のモノドロミーの計算と、
リーマン・ヒルベルト問題の紹介。
ガウスの超幾何のモノドロミーの話はできなかった。

まず最初に前回の補足で、
ガウスの超幾何微分方程式の t=1 まわりにおける解の構成。
変数変換で t=0 まわりの話に帰着する。

今回は、一般の Fuchs 型微分方程式の決定方程式と exponent の計算。
無限遠点まわりでの計算をするために、Euler 作用素を導入した。

次回は Fuchs の関係式とアクセサリーパラメータの勘定。

なるべく Fuchs 型の一般論の話を始めたいのだけれども、
その前に重要な例として、ガウスの超幾何の話。
まず、ガウスの超幾何が Fuchs 型であることの確認をして、
フロベニウスの方法。決定方程式、exponent の定義。
そして、原点で正則な解として超幾何級数を導出した。
ほかの特異点まわりでの解の話は、結果だけ述べて、
一部はレポート(無限遠点での解の構成)。

次回は、一般の Fuchs 型方程式の exponent の計算。

前回の補足で、第一種特異点、第二種特異点、Poincare rank の定義。
第一種特異点は確定特異点であること (証明略)。

今回から単独高階斉次線形の方程式を考える。
これは1階連立系に書き直せて、この形で前回までの意味で(不)確定特異点であるとき、
もとの単独の方程式の(不)確定特異点であるという。
単独高階の場合は、確定特異点であるための必要十分条件が、
係数の関数の特異性の条件として書き下せる。
この条件の P^{1} 上の各点でも書き換え (無限遠点での議論はレポート問題)。

Fuchs 型微分方程式の定義。
P^{1} 全体で有理型な関数は有理関数なので、
Fuchs 型であれば係数の関数は有理関数。
特に特異点は有限個となるので、一次分数変換によって、
特異点のひとつは無限遠点であると仮定してよい。

次回は Gauss の超幾何。

海外出張とリヨン空港ストライキのための休講があって、
前回から 1ヶ月以上空いてしまったので、前回の復習から。

考えるのは 1階連立斉次線形のシステムで、
係数行列の孤立特異点のまわりで考える。
基本解を取り替えれば、(local な)モノドロミーが Jordan 標準型であると仮定してよい。
このとき、モノドロミー行列の log を考えて、それを独立変数の肩に乗せた関数を考えると、
基本解の多価性を打ち消せる。
この残りに現れる行列関数が、方程式の特異点を高々極とするとき、
この特異点は確定特異点であるといい、
真性特異点であるとき不確定特異点であるという。

次回は Fuchs 型の方程式。

三学期は複素変数の常微分方程式の話。

しばらくは斉次線形の1階連立系を考える。
係数行列が正則な点の近傍では、
初期値を与えれば正則な解が一意的に存在すること。
孤立特異点の場合は、その点のまわりにある一点において基本解行列を考えると、
一般には多価関数になる。
これを特異点のまわりで解析接続したときに出てくるのがモノドロミー行列。

次回は特異点の分類。

最終回。

線積分の定義とその意味 (力の場が曲線に沿ってなす仕事)。計算例。
後半はガウス・グリーンの公式。領域が長方形の場合に証明した。一般の場合は省略。
最後に応用として、ポテンシャルをもつ力は保存力であること
( 線積分が始点と終点にしかよらないこと )の証明をして終了。

試験は11月22日。

二学期最後は、Fredholm 行列式について少しだけ。

斉次の積分方程式に対して、積分をリーマン和で近似すれば、
固有関数を持つための条件が行列式で書ける。
この行列式で分割を細かくする極限をとったのが Fredholm 行列式。
事実としては、Fredholm 行列式は広義一様収束して正則関数を定め、
その零点が、もとの積分方程式の固有値を与える。
最後に例として、分解核で一番簡単な場合 K(x,y)=xy に、
実際に Fredholm 行列式を計算し、固有値が零点と一致することを確認して終了。

補足：講義の後で質問を受けましたが、そこで変なことを言ったので、ここで訂正します。
固有値の重複度は、Fredholm 行列式を一般化した関数でなく、
Fredholm 行列式そのものの零点の位数と一致します。
位数が2以上の場合に固有関数を構成するとき、
Fredholm 行列式にパラメータを入れて一般化した関数を 使います。
(二つの話が混乱してました。失礼しました。)

最終回。

無限遠点での留数の定義。P^{1} 上で有限個の孤立特異点を持つ関数の、
P^{1} 上での留数の和がゼロになること。
この応用例として、有理関数の計算。
最後に、留数は 1次微分形式に対して定めるべき概念であることを説明して終了。

試験範囲はルーシェの定理まで。