2013年度は微積分I(春学期・数学対象)、微積分II(秋学期・数学対象)、微分方程式(春AB・秋AB)、解析学IIIA・IIIB(大学院)を担当しました。

だんだん忙しくなってきたため、更新が途絶えがちです。

更新するのをすっかり忘れていたので、年度末にまとめて
(来年度からは止めるかもしれません)。

微積分II：1月7日・8日・14日・15日・22日・28日・29日
関数列の一様収束、関数項級数の一様収束(ワイエルシュトラスのM判定法)、
ベキ級数の収束半径、収束円板内での微分・積分可能性あたりまで。

解析学IIIB：1月6日・21日・27日
これまでの一般論を Barnes の多重ゼータ関数、多重ガンマ関数に適用して、
さまざまな性質を導出。最後に Henkel 型積分表示まで。

かなり開いたけどまとめて。

微積分II：12月11日・17日・18日・24日
重積分の広義積分の計算例。重要な例としてガウシアンの積分の計算。
2変数関数のグラフが定める曲面の面積の公式と計算例。
重積分の話は以上で終わりで、残りの期間は関数列の話。
各点収束、一様収束の定義まで。

解析学IIIB：12月9日・16日・25日
多重ガンマ関数の「一般化」の log が、
実軸の0以下の部分以外に解析接続できること。その漸近展開。
さらに、その積分表示を導出した。

微積分II: 12月3日・4日
重積分の変数変換を用いた計算例(極座標変換とアフィン変換)。
重積分の広義積分の定義と計算法(コンパクト近似列をとる)まで。

微分方程式： 12月2日
円板上のディリクレ問題に対するポアソンの積分表示式について、
境界条件を満たすことのきちんとした証明。
3次元のラプラス方程式に対する境界値問題について少しだけ。

解析学IIIB: 12月2日
多重ガンマ関数の log の「一般化」が、実軸の負の部分以外に
解析接続できることの証明の準備として、
ラプラス変換の解析接続可能性についての命題を証明した
(Ruijsenaars の差分方程式の論文の Appendix B)。

二週分まとめて。

微積分II: 11月19日・20日・26日・27日
一般の積分領域上での重積分の定義。
ジョルダン外測度・内測度、ジョルダン可測集合の定義。
ジョルダン可測集合上の連続関数はリーマン積分可能であること(証明は略)。
フビニ型の定理と積分の順序交換。
重積分の変数変換の公式の「説明」まで。

微分方程式： 11月18日・25日
円板上のディリクレ問題の解の一意性(存在すれば)。変数分離による解法。

解析学IIIB： 11月18日・25日
Mellin-Laplace 変換を使って多重ゼータ関数の一般化が定義できる。
極における留数、負の整数点での値の計算。
さらに、ここから多重ガンマ関数の log の「一般化」が定義できる。
その具体的表示を与えるところまで。

多忙ではなかったけど三週分まとめて。

微積分II：10月28日・10月29日・11月12日・11月13日
2変数の二次形式の符号判定と、それを使った極値問題の解法。
陰関数定理。ラグランジュの未定乗数法と条件つき最大・最小問題の解法。
有界閉区間上の重積分の定義まで。

微分方程式：10月27日・11月6日・11月11日
一次元の熱方程式の初期境界値問題を変数分離で解く方法。
最大値・最小値の原理と解の一意性。
2次元の調和関数の性質まで。

解析学IIIB：10月27日・11月6日・11月11日
Hurwitz ゼータ関数とガンマ関数の関係。
Barnes の多重ゼータ関数の定義。積分表示。多重ガンマ関数の定義。
Ruijsenaars さんの一般論に入って、Mellin-Laplace 変換の解析接続まで。

この期間は多忙だったため二週分まとめて。

微積分II (10月15日・22日・23日 (16日は台風のため休講))：
合成関数の微分、高次偏導関数、多変数のテイラーの定理。
次に極値問題の解き方の話をするが、テイラーの定理から二次近似式を導出して、
極値をとる点の候補では二次の部分の挙動が問題となること、
その二次の部分がヘッセ行列に対する二次形式になっていることまで。

微分方程式 (10月17日・21日)：
17日は一次元の非斉次波動方程式の初期値問題に対する解の公式の導出。
21日は一次元の熱方程式(実数直線上)の解の公式の証明(熱核との畳み込み)、
の途中でつまづいたので、次回はそのフォローをします。

解析学IIIB (10月17日・21日)：
Plana の公式の証明の残りを話して、ガンマ関数の Binet の公式を証明。
そして、Hurwitz ゼータ関数の Hermite の公式の証明まで。

秋学期は10月1日から。

微積分II (10月1日2日8日9日)：
n 次元ユークリッド空間の距離の定義。距離の公理を満たすこと
(三角不等式の証明はプリントで)。
位相に関する概念の定義と意味の解説
(イプシロン近傍、内点・外点・境界点、内部・境界、近傍、開集合・閉集合・閉包、有界)。
関数の極限、連続関数の定義。有界閉集合上の連続関数は最大値・最小値をもつこと(証明は略)。
全微分可能性の定義式から偏微分係数の定義。偏導関数の定義。
全微分可能性と接平面の存在について。

微分方程式(10月7日)：
2変数2階半線形偏微分方程式の分類(結果のみ)。
1次元波動方程式の初期値問題について、ダランベールの公式の導出。

解析学IIIB(10月7日)：
Ruijsenaars さんの論文
On Barnes' Multiple Zeta and Gamma Functions
を理解することを目標とする。
始めに動機付けとして、ガンマ関数とフルヴィッツゼータ関数の関係式を証明する。
そのための準備として、プラナの公式の証明。

数学セミナーB(10月4日)：
受講者は2名。以下の二冊をそれぞれの担当のテキストとして輪講する。

更新が大幅に遅れたので、まとめて。

微積分I (7月16日・23日・30日)：
実数の連続性に関する微積分の基礎定理について。
単調有界収束列の収束から、e の存在、中間値の定理の証明。
ボルツァノ・ワイエルシュトラスから、有界閉区間で連続な関数は一様連続であること。
これを使って、有界閉区間において連続な関数はリーマン積分可能であること。

解析学IIIA (7月22日・24日・29日)：
ガウスの超幾何関数の積分表示について。
ベータ関数とガンマ関数の関係を復習して、オイラー型積分の導出。
バーンズ型積分表示を導出するために、ガンマ関数の漸近展開の証明。
準備として、オイラー・マクローリン展開の簡単な場合を証明して、
バーンズ型積分表示については概略のみ(収束性の証明が面倒)。

解析学IIIA (7月8日)：
ガウスの超幾何級数の z=1 での値の計算の続き。
\gamma に関する隣接関係式。それを繰り返して極限をとれば、
ガンマ関数の比として書く表示が得られる(ガウスによる計算法のフォロー)。
この公式の応用として、z=0 と z=1 の接続公式の証明の粗筋。

微積分I (7月9日)：
広義積分の絶対収束性について。
絶対収束する広義積分は収束すること。その応用として、広義積分の収束判定法。
後半は収束判定の具体例といろいろと。