最終回。オイラーの公式について。

まず、sin{x} と cos{x} の (x=0における) テイラー展開を書き下す。
sin と cos の微分がそれぞれ cos, -sin であることを認めれば、
書き下すこと自体はそれほど難しくない。
そして、このようにして得られた展開式は、任意の実数 x について正しい
(収束半径は無限大だということ)。

次に、複素関数の話。
複素関数とは、独立変数が複素数の関数。
多項式や有理式で定義される関数を複素関数と見なすのは難しくないが、
では、この講義でも扱った指数関数を考えるにはどうすれば良いか。
そこで、テイラー展開を使う。
複素数の収束の概念さえ定義すれば、テイラー展開の無限和に複素数を代入することで、
独立変数が複素数の場合にも拡張することができる。
そして、このように拡張しても指数法則 e^(x+y)=e^x e^y が成り立つ。
これはベキ級数の間の等式として等しいからだ。

以上の準備をしておけば、オイラーの公式は容易に導ける。
指数関数のテイラー展開の独立変数 x を ix におきかえて、
テイラー展開を計算していけば、自然に sin と cos の展開が現れる。
これがオイラーの公式。
最後に、指数関数の指数法則から三角関数の加法定理が出ることを話して、
竹山の担当分は終了。


補足：竹山担当分のレポート課題としては
「講義で扱った 4つのテーマから一つ選び、高校生にも分かるように自分の言葉で解説せよ」
という出題をしました。
学生さんのレポートは、みな力作揃い (明らかに手を抜いてるのもありますが) で、
とても感心しました。「自分で説明してみて良く理解できた」という感想もあったりして、
こちらの狙いとしては成功だったと思います。