２１世紀になってからというもの、さまざまなところで数理科学の振興が声高々と唱えられるようになりました。
　しかし、一体、数理科学はどのように勉強すれば良いのでしょう。

　ありがたいことに、最近では多くの研究者によって、数理科学の活動についての一般向け解説が少なからず出版されたり、いろいろなシンポジウムも催されたりしています。そういう本を読んだり、講演を聴いたりしていると、大変おもしろく、いろいろな知識を得ることができます。ただ、それらはどちらかというと
　『企業や諸科学技術分野の人から、かくかくしかじかの課題の提案があり、数理を用いて共同研究をしている』
のような事例報告が多いようです。確かにその「かくかくしかじかの課題」に興味を持っている人にとっては、得るところも多いのだと思います。しかし、その分野の門外漢にとっては、親しみを持ちにくいというか、なかなか自分でその課題を研究できる、あるいは研究したいとは考えにくいところもあります。
　今現在、私がぜひ読んでみたい本、あるいは聴いてみたいレクチャーは、その人が現在研究している個々の特定の課題の事例紹介というよりは、もう少し汎用性がある形の数理科学の一般向け概説です。言い換えれば、「数学」という汎用性のある学問をメインディッシュにした数理科学コースです。

　
　そんなことを考えているとき、ふと、確かブルーバックスに数理科学の概要を解説した本があることを思い出しました。蔵書をひっくり返してみると、それがありました。アメリカ数理科学研究委員会編、
　『数理科学の世界　数学の新しい可能性』
です。原書は1969（1964?）年出版ですから、今からおよそ45年も前の本です。内容的にはもちろん古いのですが、これが結構おもしろいものです。

　まず著者がすごい。
S. ウラムによる「数学の魅力と応用性」という総説を皮切りに、
組合せ理論のG. C. ロータ、
トポロジーで有名な R. H. ビング、
ヒルベルトの第５問題で著名なあのA. M. グリーソン、
関数論のL. バース、
幾何学のH. S. M. コクセター、
「ダンフォード・シュワルツ」のJ. T. シュワルツ
E. J. マックシャーン
S. アイレンベルグ、
R. M. スマリアン、
J. キーファー
（以上、人名の読み方は本に従ってます）。
　この人たちは数学者として有名な方々なので、私でも名前を知っていました。他に物理学、生物学、経済学、計算機、言語学等の専門家で数理科学的研究をされている人たちが著者になっています。

　書き方としては、こういった優れた数学者が、数学の解説をしながら、その応用例や応用の可能性の展望なども書いています。そして、数学者でない著者も多くは、事例紹介というよりは、もう少しグローバルなヴィジョンで将来展望を交えながら、原理的な説明を書いています。
　最近の数理科学の本の書き方は、たとえば

　『こういう特定の課題があって、この事例にこういう数学が使われている』
といったタイプが多いですが、この本では、はじめに数学ありきで、
　『この数学はこういうもので、こういう応用やああいう応用があり、またさらにこういう分野への応用可能性もある』
という書き方をしています。私はこの書き方が好きなのですが、ただ、なんと言っても45年も前のものです。
　今こそ、現在のトレンドである「数学の応用事例の紹介の集積」とはひと味違った、数学のしっかりした分り易い解説を基軸にした数理科学の新しい入門書が一冊ほしいところです。

40年以上前に出版された本

他の書評は『私の名著発掘』へどうぞ

 

　クラシック錯視の中でも、最も古い部類に入るものに「天体の錯視」、別名「月の錯視」があります。
　夜、月がまだ地平線辺りにいるとき、月が非常に大きいと感じたことはないでしょうか？一方、夜も更け、月が天高くたたずんでいるときは、それほど大きくは感じません。これは地平線近くにある月が、本当に特段大きくなっているわけではなく、月の錯視と呼ばれている錯視なのです。

　ところで、この月の錯視に関する解説を読んでいると、古くはアリストテレスも論じたということが書かれています。
　もう随分前のことになりますが、そのアリストテレスの説を知りたくなり、彼の著書を読んでみようと思いました。しかし、具体的にアリストテレスが何という著作で月の錯視を論じているのか、私の手元にあるどの本にも出ていませんでした。
　しかたなく、図書館に行き、アリストテレス全集（岩波書店）を当たってみることにしました。
　ところが、ご存じのようにアリストテレスはありとあらゆる分野で研究をした人で、その著作の量も半端ではありません。
　とりあえず、目の錯覚だからということで、五感に関する研究の書かれた『霊魂論』を手に取りました。しかし、視覚については論じてあるものの、月の錯視に関する記述を見つけることはできませんでした。
　次に可能性のあるのは、感覚や実体についても論じた『形而上学』。岩波文庫だと上、下２巻の大著です。これを見ていくことにしました。『形而上学』では視覚についても記されているので、かなり期待したのですが、月の錯視は見つかりませんでした。
　こうなると、『天体論』。
　しかしこれもだめ。
　次に目に入ったのが『自然学』。
　あまり期待はしていませんでしたが、案の定ここにも見出すことはできませんでした。
　最後の頼みの綱は『宇宙論』でしたが、ここにも見当たらず。
　
　
　いい加減うんざりしてきました。
 とはいえ、アリストテレスの著作はまだまだたくさんあります。目の前に積まれた本は『倫理学』、『政治学』、『論理学』、『詩学』、・・・。このどこかにひょっこり書かれているかもしれません。
　何日間か、時間ができるとは駒場の総合図書館に通って、まるでアリストテレスの研究者かのように全集とにらめっこをしていました。
　もちろんその記述を見つけたからと言って、別にどうということもありません。いいかげん止めたいのは山々なのですが、しかしどうしても気になって、やめることができないのです。
　何日目かには、もう何となく惰性でアリストテレス全集を手にとっては眺めていました。もちろん見落としがあることも十分考えられますので、『形而上学』、『霊魂論』なども見直したりしていました。

　しかし、何事にも盲点があるものです。今思えば、可能性の高い著作を飛ばしていました。　『気象論』です。気象の話であろうから、月の錯視は出ているわけはないと先入観を持っていたのでした。ところが、中を見ていくうちに、遂に月の錯視の記述に遭遇しました。
　『たしかにこれと同じ理由によって、東風が吹くとき、海上に突き出た岬がふだんよりもいっそう近づいて見え、またすべてのものがふだんよりもいっそう大きくなって見える。また薄濁りの中で見られたものもそうである。たとえば、太陽や星は正午のときよりも昇るときと沈むときのほうがいっそう大きく見えるのである。』（アリストテレス全集、気象論（泉治典訳）、岩波書店より。なお下線は私がつけたものです。）

　アリストテレスの説の是非についてはともかく、確かにアリストテレスはいわゆる月の錯視について論じていました。
　
　

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教訓：餅は餅屋。
　最初から専門家に聞いてしまえば、すぐに教えてくれたかもしれません。時間をずいぶん無駄にしました。
　ただ、おかげでアリストテレスには少し親近感を持てるようになりました。もちろんアリストテレスを理解できたわけではありませんが。　今から考えれば科学的に不十分な点もあるとはいえ，一人でこれだけの広範な研究をしたことはすごいことです．ただただ脱帽です。

　浮遊錯視生成プログラムを使って作った錯視デザインが、バレンタインデー用チョコレート缶になりました。六花亭のバレンタインラウンドハートです。昨年デザインしたものは、ホワイトデーと母の日に発売されましたが、今回のは色違いで、デザインも少し変えてみました。1月20日から発売です。
　浮遊錯視生成プログラム（特許、発明者：新井仁之・新井しのぶ、出願人：科学技術振興機構）は、数学的方法による視覚の研究の実用的応用の一つです。
　従来の錯視デザインは、できあいの錯視を利用して作られてきました。しかし今回の発明により、旧来の
『錯視に合わせてデザインをする』
という方法を脱却し、
『デザインに合わせて（浮遊）錯視を作る』
ということができるようになりました。




　
　商品の詳細については下記のサイトをご覧ください。（なおサイトに掲載の画像は、画質のせいでほとんど錯視が現れていません。）

バレンタインラウンドハートのサイト（六花亭）：
（終了しました）

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錯視デザイン、錯視アート、浮遊錯視、バレンタインデー。

　前回、ポッゲンドルフ錯視のデザインを描きましたが、ついでなのでポッゲンドルフ錯視について雑談を記しておきます。（もっとも私のブログは全部雑談ですが。）

　錯視の解説などによく書かれていることに、「ポッゲンドルフ錯視は、ポッゲンドルフがツェルナーの論文にあるツェルナー錯視画像の中に見出したものである」といったものがあります。私は最初、どうしてツェルナー錯視からポッゲンドルフ錯視を導出できるのかわかりませんでした。ツェルナー錯視というのは、水平な線が傾いて見える錯視で、たいていの本に出ている画像は次のようなものです。



図1. ツェルナー錯視。


一方、ポッゲンドルフ錯視は、斜めの線が障害物に遮蔽されたときに、線がずれているように見えるという錯視です。本などでは次のような画像として紹介されています。


図2. ポッゲンドルフ錯視

　図１の錯視画像の中に、図２の錯視が隠れている？
　しばらく、もやもやとした状態が続いていました。しかし、あるときツェルナーの原論文を見て、ようやくこの疑問が解けました。ツェルナーの原論文というのは、1860年に Annalen der Physik という雑誌に掲載されたものです。この雑誌は言うまでもなく有名な物理学の雑誌で、後年、たとえばアインシュタインの相対性理論の論文などが掲載されたものです。ツェルナーの論文に載っているツェルナー錯視の画像は次のようなものでした（原論文を元に描画したものです）。





なるほど、これなら確かにそれぞれの斜めの帯が縦の帯に遮蔽されて、ポッゲンドルフ錯視が起っていることがわかります（下図をご覧ください）。




　
　なおツェルナーの論文には、ポッゲンドルフによりこの錯視現象が指摘されたことも書かれています。ある錯視画像の中に複数の錯視が紛れ込むことは、ときどきあることですが、それにしてもポッゲンドルフさんはよく気がついたものです。

　ツェルナーは19世紀の天文学者で、ポッゲンドルフは物理学者でした。


 

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Zollner illusion, Poggendorff illusion.

　ポッゲンドルフ錯視を利用したデザインです。山の彼方に黄色い尾を引いて行く宇宙船があります。その尾は斜めの直線を描いていますが、途中、途切れているように見えませんか？




本当は、次の画像のように、モノリスと卵型物体の隙間に尾の一部を書き加えた方が正しいと思われるかもしれません。





　しかし、本当にこれでよいのでしょうか。少し顔を出している帯の部分を延長してみましょう。尾の後ろの部分とは食い違っていることがわかります。





　ところが、じつはこのように感じることも錯覚なのです。背面にある尾を前面に移動させてみましょう。尾は次のように延びているはずなのです。




　つまり、尾はモノリスと卵型物体の背後に隠れているという最初の絵が正しかったのです。
　
　このように斜めの直線が遮蔽されると、ずれたように見える錯視がポッゲンドルフ錯視です。一番上の画像は、ポッゲンドルフ錯視効果を2重に使って、尾が途切れているように見せたものです。
　なお、ポッゲンドルフ錯視現象は、16世紀から17世紀に活躍した画家のルーベンスがすでに気がついていて、それを逆利用した絵を描いていたという説があります（トッパー）。詳しくは下の本をご覧ください。

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Poggendorff illusion

ポッゲンドルフ錯視を逆利用したルーベンスの絵は次の本でもご覧いただけます。

錯視の歴史 (なぜこう見える? どうしてそう見える? 錯視のひみつにせまる本)
ミネルヴァ書房(2013/09/20)
値段:￥ 2,625

次の画像を正面からご覧ください。特に銀河の白い部分をしばらく見ていてください。この画像では三つの錯視が起こっています。



　一つは、楕円型の銀河の内側にある白い楕円の周りで錯視が起こっています。白い楕円の縁により白く光る細い帯があるように見えませんか。実際にはそのような帯はありません。楕円の周りの光る帯は、『マッハの帯』と呼ばれる錯視です。マッハはあの有名な物理学者エルンスト・マッハです。
　それから銀河の中にあるグレーの円板と、その斜め下の円板を比較してみてください。銀河の中の円板の方が暗く見えませんか。じつはどちらも同じグレーの円板です。これは明暗の対比錯視と呼ばれているものです。
　もう一つ、下のグレーの円板と銀河の境目が暗く見えてますが、これも錯視です。マッハの帯、あるいはシュヴルール錯視と言った方がよいかもしれません。

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Mach band, simultanous contrast illusion, Chevreul illusion.

　赤い線、上と下ではどちらが長く見えますか？



　答えは、次をご覧ください。



　同じ長さです。
　19世紀にドイツのミュラー・リヤーという人によって発見された錯視です。今ではミュラー・リュアー錯視と呼ばれています。錯視の代表選手の一人です。

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Muller-Lyer illusion

　銀座にあるギンザ・グラフィック・ギャラリーで勝井三雄展 「兆しのデザイン」 が、1月9日から開催されています。勝井三雄先生は言うまでもなく、世界的なグラフィック・デザイナーです。この展覧会では勝井先生の作品100+45点と映像作品が展示されています。先週、早速その展覧会に行ってきました。
　会場は交詢ビルの斜め向かいです。1階入り口に入ると受け付けがあるので、ここで記帳し、展示マップをもらうことができます。少し入ると、勝井先生のいくつかのグラフィック・デザインと book no. 100 書籍『ゆらぎとゆらぎ』という作品が展示されています。これは大きな本が作品となっているものです。その反対側には広い壁3面をスクリーンとして、次々にアート映像が投影されています。映像作品では色と動きが融合され、印刷とは違った色彩の世界が繰り広げられています。
　さらに階段を降りていくと・・・。　
　思わず
　「おお！」
と声を発してしまいました。黒い壁面に並べて掛けられた勝井先生の色鮮やかな作品パネル、そして広い床には低い大きな展示台が置かれ、そこにたくさんの本が表紙を見せるように、あるいは見開きの状態で展示されています。すべて勝井先生によりデザインされた本の数々です。この光景が目に入ってきたとき、これら作品群全体から放たれる色が、見るものに驚きと感動を与えます。
　この部屋全体が、また一つの作品となっていると言えるでしょう。つまり個々の作品が、部屋全体と有機的に結びつけられ、一個の作品として主張しているのです。さらに会場には神秘的な音が静かに流れており、聴覚が視覚に干渉するようになっています。たとえば地下の会場で流れている音は、透明感のある薄い黒で、それが部屋全体に広がり、作品の色をより浮き立たせています。色、光、音、スペース、そして空気までもが見事に協働し、一つの世界となっています。
　展示マップには 『勝井三雄によるインスタレーション』 と記されていますが、これがインスタレーションなのです。
　個々の作品では、色の組み合わせと配置、グラデーション、そこから生まれてくる光、どれも絶妙に描かれています。それらが、ある作品では神秘的なデザイン、またある作品では幾何学的なデザインと同化しています。とても言葉では言い表せないので、ぜひ直接ご覧ください。

　ところで、じつはこの展覧会では、１階に私の作品（新井しのぶと合作）も1点出品されております。
　出品された作品は、スーパーハイブリッド技法（特許取得、新井・新井、JST）を使って、今回の勝井先生の展覧会のテーマである 『きざし』 の文字をモチーフに作成したものです。それをダイナミックで大きな映像にしていただき、映像作品の一つとして映されています。映像作品は11個あり、10点は勝井先生の作品、そして何と11番目に私のを入れて頂いていると云うすごいことになっています。

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ギンザ・グラフィック・ギャラリー外観（1月10日、夕刻に撮影）





ギンザ・グラフィック・ギャラリー入り口の壁にある勝井三雄展ポスター（1月10日、、夕刻撮影）

次の図をご覧ください。大きい半球に囲まれたうす紫の半球と、小さい半球に囲まれたうす紫の半球があります。どちらのうす紫の半球が大きく見えますか？


じつは、二つのうす紫の半球はどちらも同じ大きさです。エビングハウス錯視と呼ばれている錯覚です。下の図をご覧ください。

あけましておめでとうございます！
今年の年賀状は私たちが開発したスーパーハイブリッド画像を使ってデザインしました。



　かなり遠くから見ると「午」、近づくと「2014」、さらに近づくと「梅の花」が見えるようになります。パソコン画面上では距離を遠くにとりにくいこともあるので，画像の大きさを変えて，疑似的に距離を変えたときの体験ができるようにしてみます．

 

 

§ スーパーハイブリッド画像とは何か
　もともとハイブリッド画像というものがありました．これは遠くから見たときと，近くから見たときとで，異なった画像が見えるというもので，2006年に Oliva，Torralba，Schyns さんらにより考案されました．
　新井・新井は，視覚の新しい数理モデルの一部を利用し，人の視覚の特性を利用した方法を考案し，これまで二層だったハイブリッド画像を，三層でも作れるようにしました．二層を三層にしたものがスーパーハイブリッド画像です．

こちらもご覧ください：錯視年賀状、クリスマスカード & グリーティングカード・デザイン集

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http://araiweb.matrix.jp/Exhibition/illusiongallary4.html

　　       　　　　　　

　数理視覚科学の研究により、私たちは、人の感覚に優しい画像処理技術、そして人の視覚を強化する画像処理技術など新しいイノベーションの創出に取り組んでいます。
　昨年、これまでの成果をまとめた研究報告書を作成しました。






　数理視覚科学の実用的応用研究として生まれた，これまでにない新しい画像処理技術の数々を、ふんだんな図版を用いて解説した冊子です．A4版、全頁オールカラーです。

目次
1章　　数理視覚科学と画像処理
2章　　視覚の数理モデル - その設計の基本的なアイデア -
3章　　かざぐるまフレームレット　- 視覚の基盤モデルを支える新しい数学 -
　　　　　背景
　　　　　かざぐるまフレームレットを構成する多様なフィルタ族
4章　　産業上有用な錯視のシミュレーション - 色彩でおこる錯視 -
5章　　数理視覚科学の心理学への応用　- キルシュマンの第3法則をめぐって
6章　　その他の錯視のシミュレーション例
7章　　視覚に優しい画像処理　- 脳内の視覚情報処理に基づいた新しい画像処理技術 -
8章　　2次元ディジタルフィルタの新しい構成法　- 視覚の基盤モデルを用いた設計方法 ー
9章　　アートに新しい展開をもたらす技術
10章　視覚を強化する画像処理　ｰ 視覚の数理モデルから生まれる各種特徴抽出技術 -
11章　視覚の基盤モデルによるノイズ除去
12章　立体感のあるエッジ検出法
13章　脳内の視覚情報処理の仮想的なコントロール
14章　幾何的なフィルタリング法　ｰ 新しいタイプのフィルタと脳の高次機能への挑戦

2013年11月12日発行
（独）科学技術振興機構の補助により作成。

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これまでに、数学によるイノベーション創出のために取得/出願した特許：

 　任意の画像の浮遊錯視画像への変換（新井・新井，特許取得 2012 
         （海外数各国でも特許取得）, JST)、
　　媒体、画像データ（新井・新井、特許取得 2013（海外数カ国でも特許取得）, JST）、
　　スーパーハイブリッド画像関連（新井・新井，特許取得 2013, JST）
　　文字列傾斜錯視の自動生成（新井・新井，特許出願，2012, JST）、
　　色の分析装置（新井・新井，PCT(国際特許)出願，2013, JST）、
　　新しい画像処理方法（新井・新井，PCT(国際特許)出願，2013, JST）、
　　新しいディジタル・フィルタ群の設計方法等（新井・新井，PCT(国際特許)出願，2012, JST）
　　他にも出願中．