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2019/06/24

関数解析メモ2

Tweet ThisSend to Facebook | by mseto
簡単なことであるが、
次のことを知っておくとヒルベルト空間の構成力が格段に向上する.

\mathcal H をヒルベルト空間,\mathcal V をベクトル空間とし,
T:\mathcal H \to\mathcal  V を線形写像とする.
このとき、\ker T が閉であれば,
準同型定理と射影定理により,
\operatorname{Im}T \simeq {\mathcal H}/\ker T \simeq (\ker T)^{\perp}
が成り立つ.
従って,(\ker T)^{\perp} の内積構造を \operatorname{Im}T に輸入することにより,
\operatorname{Im}T はヒルベルト空間となる.

以上のことは個別の証明の中では使われているので
よく知られていると言えるが,
定理として述べられることは少ない
(S 先生の本では一番最初に述べられている).
ヒルベルト空間論における準同型定理と名付けてもよいのではないだろうか.
19:22 | Impressed! | Voted(0) | Comment(0) | 教育