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証明日誌(proof diary)

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2019/09/19

「系工学の基礎」入門

Tweet ThisSend to Facebook | by kaizen
「系工学の基礎」は、Systems Engineeringに関する作成中の資料です。

英語と日本語で書きかけています。

何人かの協力を要請中です。
本形式にする前に雑誌に投稿予定です。

pythonといくつかの言語での記述を含む予定です。

#系工学(systems Engineering)

## 部分集合としての系(system)
論理的な定義として、
系(System)は、系の系(System of Systems)の部分集合であるとする立場がある。

## 母集合としての系(system)
系の系(System of Systems)が系(System)の部分集合であるとする立場がある。


系(system)があらゆるものを要素として含むとすれば、系の系も系の要素である。

#科学(science)構造(architecture)

工学は科学の応用であるとする。系工学の基礎となる科学は何であろうか。


##系科学(system science)
系は入力を出力に変換する。

そこで数学のように、数または演算子を入力として、数または演算子を出力する系を基礎として考えることができる。

###複素数

複素数は、入力と出力の関係を多次元で扱うのに便利な道具である。


###三角関数

三角関数は、系を扱う上で便利な道具である。特に、周期的な現象を扱うには必須といってもよいかもしれない。時間領域の現象を周波数領域で扱うには三角関数で表現するとよい。

###指数関数
指数関数は、複素指数関数で三角関数と同様の現象を表現し演算することができる。乗算を加算として扱うところが便利である。

###解析

解析学は、系を扱う上で時間と空間の関係を表現するのによい。
微分で変化率を表現し、積分で変化量を表現する。

数学と物理学は、解析学を通じて、相互に表現の綺麗さを磨いてきた。数学的な解で物理的に意味がないと思われる式が、物理的な解釈が可能かもしれない。数学的に解けなさそうな問題が、物理的には解があるかもしれない。

###確率・統計
確率と統計

##論理科学(logical science)
論理科学は系科学の基礎であるかもしれない。
真か偽かは論理演算、論理分岐の基礎をなす。

### ゲーデル不完全性定理(Gödel's incompleteness theorems)

Kurt G ̈odel, U ̈BER FORMAL UNENTSCHEIDBARE SA ̈TZE DER “PRINCIPIA MATHEMATICA” UND VERWANDTER SYSTEME I
http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf

 
Gödel’s Proof of Incompleteness - English Translation
https://www.jamesrmeyer.com/pdfs/godel-original-english.pdf

>The development of mathematics in the direction of greater exactness has – as is well known – led to large tracts of it becoming formalized, so that proofs can be carried out according to a few mechanical rules. The most comprehensive formal systems yet set up are, on the one hand, the system of Principia Mathematica (PM)2 and, on the other, the axiom system for set theory of Zermelo-Fraenkel (later extended by J. v. Neumann).3 These two systems are so extensive that all methods of proof used in mathematics today have been formalized in them, i.e. reduced to a few axioms and rules of inference. 

私(試)訳
「よく知られているように、より正確な方向への数学の開発は、その大部分を形式化し、いくつかの機械的な規則に従って証明を実行できるようになりました。 これまでに組立てた最も包括的な形式系(formal system)は、一方で数学的諸原理(Principia Mathematica(PM)注2)の系であり、他方で、Zermelo-Fraenkelの集合理論の(後にJ.v.Neumannが拡張した)公理系です。注3 この2つの系は非常に広範であるため、現在数学で使用しているすべての証明方法を形式化しています。つまり、いくつかの公理と推論規則に減らしています。」



##物理科学
物理科学は一枚岩ではない。物理科学自体が、系の系(systems of systems)である。

物理科学は、力学と相対性理論、熱力学・統計力学と量子力学など複数の理論をある境界条件で接合する複数の系を対象としている。

###化学(chemistry)

化学は物理現象をより複雑な対象に適応する科学分野です。量と質の関係を表現しています。量子力学により、物理学と化学とが連続する学問領域であることがわかります。

## 生命科学
生命科学も、化学に似て、量と質の関係を表現しています。
大きな違いは、生きている状態と死んでいる状態があることかもしれません。生命現象でも、種子のように活動を停止したように見える状態もあれば、

生命科学自体も、系の系(systems of systems)です。
ある生物の一部が、別の生物であるのは、寄生関係・共存関係だけでなく、病原菌などのような敵対関係もあります。

人間であれば、呼吸器系、循環器系、神経系、筋肉系など多数の系が相互作用、時定数、確率・分布の違いをもって同じ空間の中に、同じ時間に存在しています。

人間も系の系(system of systems)です。

## 社会科学
社会は、個人から構成されています。
個人の振る舞いに着目した微小理論(micro theory)と、社会全体の集計量に着目した巨視理論(macro theory)とがあります。

社会の系の系(system of systems)です。

##相似構造

物理科学、生命科学、社会科学が、それぞれ系の系(system of systems)を構成要素として、物理科学の対象全体が生命科学の構成要素であり、生命科学の対象全体が社会科学の構成要素であるという構造になっています。

これらの6段階以上の系は、集合、時定数、確率・分布が異なります。


#参考資料
##複素数
Pythonからはじめる数学入門 勉強メモ Vol.1
https://qiita.com/oiku15/items/637dd8c6cab3fc9886b4

pythonの基本 part1
https://qiita.com/0329maromaro/items/f75df10e7b0455bd8eb1

PythonをWindowsの関数電卓代わりに使う
https://qiita.com/tz466/items/0ab729fbd00e4496ac51

『行列プログラマー』の課題・問題を解いてみる (1章 体)
https://qiita.com/Suna/items/43efb4ee07c63433261d



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