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2016/06/21

確率論及等計論第III章記述的統計学 14.節平均値、能率

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伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
確率論及等計論第III章記述的統計学 14.節平均値、能率
¥int_{-¥infty}^{+¥infty} f(x) dx = 1 , (14.1)
p.111
「変域は(-∞, +∞)に限らないがこうして置けば全の場合」
「外ではf(x)=0」
「以下誤解のない限り積分の上下端を書くことを略す


確率変数の平均値は
M = \int xf(x) dx  , (14.2)
r次の能率
¥mu_r^' = ¥int x^r f(x) dx , ( ¥mu_o^' = 1, ¥mu_1^' = M) , (14.3)
任意の実数値lに対して
\int e^{lz} f(x) dx  , (14.4)
平均値まわりの能率
\mu_r = \int (x - M)^r f(x) dx , ( \mu_o = 1, \mu_1 = 0) , (14.5)
標準偏差、分散率
¥mu_2 ¥equiv ¥sigma^2 =  ¥int(x-M)^2f(x) dx , (14.6)
¥sigma^2 = ¥mu_2^' - (¥mu_1^')^2 ,(14.7)
\sigma^2 = \overline{(x-\overline{x} )^2} = \overline{x^2 -2x\overline{x} + \overline{x}^2 } = \overline{x^2} - \overline{x}^2 , (14.7a)*
高い次数の能率¥mu_r^' = x^r, ¥mu_r= ¥overline{(x - ¥overline{x})^r}
¥mu_3 = ¥mu_3^' - 3¥mu_2^'¥mu_1~' +2¥mu_1^{'3}  , (14.7b)
\mu_4 = \mu_4^' - 4\mu_3^'\mu_1~' + 6¥mu_2^'\mu_1^{'2}  +3 \mu_1^{'4}  , (14.7c)
¥mu_{i_1 i_2 ¥cdots i_r}^{(r)} = ¥overline{x_{i_1} x_{i_2} ¥cdots x_{i_r}} , (14.8)
¥mu_{ik} = ¥overline{(x_i - ¥overline{x_i} )( x_k - ¥overline{x_k})} = ¥mu_{k_i} = ¥overline{x_i x_k} - ¥overline{x_i}¥cdot ¥overline{x_k} , (14.9)
\sum \mu_{ik} \xi_i \xi_k = \overline{( \sum_i (x_i - \overline{x_i})\xi_i)^2} \ge 0 , (14.9a)
例題:三次元ユークリッド空間である固定した直交軸系に対して動く直行軸系の方向余弦を
¥alpha_1 ¥alpha_2 ¥alpha_3; ¥beta_1 ¥beta_2 ¥beta_3; ¥gamma_1 ¥gamma_2 ¥gamma_3 , (14.9.b)
とするとき、動く軸系のあらゆる方位に対して
¥overline{¥alpha_1^2}, ¥overline{¥alpha_1 ¥alpha_2}. ¥overline{¥alpha_1^4}, ¥overline{¥alpha_1^2¥alpha_2^2} ,(14.9c)
恒等式
1 = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 = \overline{\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2} = \overline{\alpha_1^2}+\overline{\alpha_2^2}+\overline{\alpha_3^2} ,(14.9d)
対称性から
 \overline{\alpha_1^2}=\overline{\alpha_2^2}=\overline{\alpha_3^2}= \frac{1}{3} ,(14.9e)
f_n(x) dx = ¥frac{1}{(n-1)!} (¥frac{x}{¥lambda})^{n-1}e^{¥frac{x}{¥lambda}}¥frac{dx}{¥lambda} , (14.10)
座標原点をOからO'に移した。
(¥overline{OO'} )= a , (14.10a)
x_1^' = x_1 - a, ¥overline{x_1^'}=¥overline{x_1 - a}= ¥lambda -a, (14.10b)
¥overline{x_1^'}^O = ¥lambda ¥cdots a, ¥overline{x_1^'}^{O^'}  = ¥lambda , (14.10c)
¥overline{x_1}^{0'} = ¥frac{¥int_a^{¥infty} x f_1(x) dx} {¥int_a^¥infty f_1(x) dx }= ¥lambda + a , (14.10d)

平均自由行程は至るところλであるが、丁度間に原点をとったところだけが2λである。この逆説を解決するには任意にとった原点が長い間隔へ落ち易いことを考えればよい。詳しくは読者の研究に任せる。
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