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確率論及統計論 >> Article details

2016/07/12

第VII章 確率と統計 63節 算術平均、標準偏差

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伏見康治 確率論及統計論 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204 輪講
http://bit.ly/29cvaOj

編集:小川清,技術士(情報工学)・工博}


目次

第I章 数学的補助手段

第II章 確率論

第III章 記述的統計学

第IV章 独立偶然量の和

第V章 時間的に経過する現象の確率

第VI章 物理工学に於ける揺らぎの現象

第VII章 確率と統計
 63. 算術平均、標準偏差
 64. 経験と確率
 65. χ2-検定法
 66. ω2-検定法
 67. Lexisの分散説
 68. 過大,過小分散の説明
 69. 誤差論
 70. 異なる観測値の結合
 71. 鋭感検流計の問題
第VIII章 エルゴード理論

第IX章 量子統計力学

補遺

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第VII章 確率と統計 63節 算術平均、標準偏差

¥overline{x_i}= a_i ¥overline{(x_i - ¥overline{x_1})^2} = s_i^2  ¥overline{(x_i - ¥overline{x_1})^3} = t_i^3  ¥overline{(x_i - ¥overline{x_1})^4} = u_i^4 , (65.1)¥nonumber¥¥ ¥alpha = ¥frac{x_1 + x_2 + ¥cdots + x_n}{n}, (63.2)¥nonumber¥¥ ¥sigma^2 = ¥frac{¥left¥{ (x_1-¥alpha)^2 + ¥cdots (x_n - ¥alpha)^2 ¥right¥}}{n} , (63.3)¥nonumber¥¥

¥left. ¥overline{¥alpha} = ¥sum ¥frac{a_i}{n} ¥equiv ¥alpha, ¥¥ ¥overline{¥alpha^2} - ¥overline{¥alpha}^2 = ¥sum ¥frac{s_i^2}{n^2},  ¥right¥}, (63.4) ¥nonumber¥¥
¥left. ¥overline{¥sigma^2} = ¥frac{n-1}{n^2} ¥sum s_i^2 + ¥frac{1}{n} ¥sum (a_i -a)^2, ¥¥ ¥overline{¥sigma^4} - ¥overline{¥sigma^2}^2 = (¥frac{n-1}{n^2})^2 ¥sum (u_i^4 - s_i^4) + ¥frac{4(m-1)}{n^3} ¥sum t_i^3 ( a_i - a) ¥¥ + ¥frac{4}{n^2} ¥sum s_i^2 ( a_i - a)^2 + ¥frac{4}{n^4} ¥sum_{i<k} s_i^2 s_k^2 ¥right¥} (63.5)¥nonumber¥¥
¥overline {¥alpha} - a, ¥overline{¥alpha^2} - ¥overline{¥alpha}^2 = ¥frac{s^2}{n} , (63.6) ¥nonumber¥¥ ¥overline{¥sigma^2} = ¥frac{n-1}{n} s^2 , ¥overline{¥sigma^4} - ¥overline{¥sigma^2}^2 = ¥frac{n-1}{n^3} ¥left¥{  (n-1) u^4 - (n-3) s^4 ¥right¥}, (63.7) ¥nonumber¥¥ ¥overline{¥sigma^2}  ¥simeq  s^2 , ¥overline{¥sigma^4} - ¥overline{¥sigma^2}^2  ¥simeq ¥frac{(u^4 - s^4)}{n} , (63.7a) ¥nonumber¥¥ f_m(x) = ¥begin{pmatrix}  m ¥¥ x ¥end{pmatrix} p^x ( 1-p)^{m-x} , (63.8)¥nonumber¥¥
\left. \overline{x} \equiv a = mp,\\ \overline{x^2} - \overline{x}^2 \equiv mp(10p) , \\ \overline{(x-\overline{x})^3} \equiv t^3 = mp(1-p) (1-2p), \\ \overline{(x-\overline{x})^2} \equiv u^2 = 3m^2p^2 ( 1-p)^2 + mp(1-p) (1-6p(1-p)) \right\} (63.9) \nonumber\\
\overline{(\alpha-\overline{\alpha})( \sigma^2 - \alpha^2) = \frac{n-1}{n^3} \sum t_i^3  \frac{2}{n^2} \sum a_i s_i^2 - \frac{2}{n^2} \sum s_i^2 , (63.5a)\nonumber\\
この式の左辺の二つ目のかっこの中が零になるようだったのでひとまず置き換え。要確認。
f_m(x) = p f_{m-1}(x) + (1-p) f_{m-1}(x-1) , (63.9a)\nonumber\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x_i^2}{2}}\cdot dx_1, (63.10) \nonumber\\ (2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \sum z_i^2} \cdot dx_1 dx_2 \cdots dx_n , (63.11) \nonumber\\ y_i = x_1 -\alpha, \sum_{i=1}^n y_i = 0, \frac{1}{n} \sum y_i^2 = \sigma^2, (63.12) \nonumber\\
n\cdot (2\pi)^{-\frac{n}{2}} \cdot e^{-\frac{n}{2}(\sigma^2 - \alpha^2) \cdot d \alpha dy_1 dy_2 \cdots dy_{n-1}} \nonumber\\ = \left\{ n^{\frac{1}{2}} (2\pi)^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{n \alpha^2}{2}} d\alpha \right\} \left\{ n^{\frac{1}{2}} (2\pi)^{-\frac{n -1}{2}} e^{-\frac{n \sigma^2}{2}} \cdot dy_1 dy_2 \cdots dy_{n-1}\right\}, (63.13)  \nonumber\\
n^{\frac{1}{2}}(2\pi)^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{n\alpha^2}{2}}\cdot d\alpha , (\overline{\alpha} = 0, \overline{\alpha^2}= \frac{1}{n} ), (63.14) \nonumber\\ const \cdot e^{- \frac{n\sigma^2}{2}} \cdot \sigma^{n-2} d\sigma,  (\overline{\sigma} = \frac{(\frac{2\pi}{n})^{\frac{1}{2}}}{B(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2})}), (63.15)\nonumber\\ \frac{(\frac{n}{2})^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma (\frac{n-1}{2})} \cdot e^{-\frac{n\sigma^2}{2}} \cdot (\sigma^2)^{\frac{n-3}{2}} \cdot d(\sigma^2), (\overline{\sigma^2} = \frac{n-1}{n}, \overline{\sigma^4} - \overline{\sigma^2}^2 = 2 \frac{n-1}{n^2}) , (63.16)\nonumber\\ const \cdot e^{-\frac{n}{2} \cdot ( \alpha^2+\sigma^2} \cdot \sigma^{n-2} d\sigma d\alpha = const \cdot e^{-\frac{n \sigma^2}{2} \cdot (1 -z^2)} \cdot \sigma^{n-1} d \sigma \cdot dz, (63.16a)\nonumber\\ \frac{1}{B (\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2})} \cdot ( 1+z^2)^{-\frac{n}{2}} \cdot dz , (\overline{z} = 0, \overline{z^2} = \frac{1}{(n-3)}, (63.17) \nonumber\\
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