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確率論及統計論 >> Article details

2016/06/13

伏見康治「確率論及統計論」輪講 第I章数学的補助手段4節自然数の分割数

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自然数 1,2,3, ・・・
エネルギー状態 μ個の粒子を配置して全エネルギーが丁度λになるような仕方の数
k_1 + k_2 + k_3 + ¥cdots + k_¥mu = ¥lambda , ( k_i = 1,2,¥cdots), (4.0)
¥lambda = ¥lambda _1 + ¥lambda _2 + \cdots + ¥lambda_\mu(4.0a)
¥lambda + ¥frac{¥mu(¥mu-1)}{2} = ¥lambda_1 + (¥lambda_2 + 1) + ¥cdots + (¥lambda¥mu + ¥mu -1)(4.0b)
\overline{\mu} = \frac{\sum_{\mu=0}^{\lambda} \mu p_\mu^* (\lambda)}{\sum_{\mu=0}^\lambda p_\mu^* (\lambda)} = \frac{\sum_{\mu=0}^{\lambda} \mu p_\mu^* (\lambda)}{p(\lambda)}} \approx \frac{q(\lambda)}{p(\lambda)}, (4.1)
q(\lambda) = \frac{1}{(2 \pi i)^2} \oint \oint \frac{dx dy}{x^{\lambda + 1} y^{\lambda + 1}}\cdot ¥prod_{k=1}^{¥infty}(1-x^k y)^{-1} ¥cdot ¥left{ ¥frac{¥lambda+1}{1-y} - ¥frac{1}{(1-y)^2} ¥right}, (4.2)
¥sum_{¥mu=1}^¥lambda ¥frac{¥mu}{y^{¥mu+1}} = ¥frac{1}{y^{¥lambda+1}} ¥left{ ¥frac{¥lambda+1}{1-y}- ¥frac{1}{(1-y)^2}¥right} + ¥frac{1}{(1-y)^2} ,(4.2a)
p(¥lambda) = ¥frac{1}{(2 ¥pi i)^2} ¥oint ¥oint ¥frac{dx dy}{x^{¥lambda+1} y^{¥lambda+1}}¥cdot ¥prod_{k=1}^{¥infty}(1-x^ky) ¥cdot ¥frac{1}{1-y} , (4.3)
¥frac{1}{z^{¥lambda+1}} ¥prod_{k=0}^¥infty (1-zx^k)^{-1} ¥cdot ¥frac{¥lambda x - ( ¥lambda+1) z}{(x-z)^2} ,(4.3a)
(x-z)^{-2} = ¥frac{¥partial}{¥partial z} (x-z)^{-1}と書いて部分積分を行うと
= ¥frac{1}{(x-z)} ¥frac{¥partial}{¥partial z} ¥left[ ¥frac{¥lambda_r - (¥lambda + 1)z}{z^{¥lambda+1}}¥prod_{k=0}^{¥infty} (1-zx^k)^{-1} ¥right] ,(4.3b)
p.33「zを固定してxに就いての積分を先にすると、xはx=φを一周りしそこの剰余は」
¥frac{1}{z^¥lambda} ¥left[ ¥frac{¥partial}{¥partial z} ¥prod_{k=0}^{¥infty} (1-zx^k)^{-1}¥right]_{x=z},(4.3c)
q(\lambda) = \frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{dz}{z^{\lambda+1}}  \prod_{k=1}^{\infty}(1-z^k)^{-1} \cdot ¥sum_{l=1}^¥infty\frac{z^l}{1-z^l}, (4.4)
p(\lambda) = \frac{1}{2 \pi i}  \oint \frac{dz}{z^{\lambda+1}} \cdot \prod_{k=1}^{\infty}(1-z^k)^{-1} , (4.5)
q(¥lambda) = ¥sum_{¥gamma=0}^{¥lambda} p(¥gamma) d(¥lambda- ¥gamma), (4.6)
z= e^{-¥alpha} , ¥prod ( 1- z^k)^{-1} = e^{f(¥alpha)} , (4.7)
¥frac{¥partial}{¥partial ¥alpha} (¥lambda ¥alpha + f(¥alpha) )_{¥alpha= ¥beta} = 0 , (4.7a)
¥lambda = - f(¥beta) = + ¥sum_{k=1}^{¥infty} ¥frac{k}{e^{k¥beta}-1} , (4.8)
p(¥lambda) = ¥frac{1}{2 ¥pi i} ¥oint ¥frac{dz}{z^{¥lambda+1}} ¥prod(1-z^k)^{-1}
   = \frac{1}{2 \pi i} \int d\alpha e^{\lambda \alpha + f(\alpha)} \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi f^' (\beta)}} e^{\lambda \beta+f(\beta)} , (4.9)
q(¥lambda) ¥approx p(¥lambda) ¥cdot ¥sum_{k=1}^{¥infty} ¥frac{1}{e^{k¥beta}-1} , (4.10)
\overline{\mu}  \approx \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{e^{k\beta}-1} , (4.11)
f(¥beta) = ¥sum_1^¥infty ¥log ( 1 - e^{-k ¥beta})^{-1}, (4.11a)
f'(\beta) = \sum_1^\infty \frac{k}{ e^{k \beta}-1} , (4.11b)
f''(\beta) = \sum_1^\infty \frac{k^2e^{k¥beta}}{( e^{k \beta}-1)^2} , (4.11c)
L(¥beta) = ¥sum_1^¥infty ¥frac{1}{e^{k¥beta}-1} , (4.11d)
\Gamma(s) = \int_0^\infty \alpha^{\delta -1} e^{-\alpha} d \alpha,   e^{-\alpha } = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta - i \infty}^{\delta+ i \infty} \alpha^{-\delta} \Gamma(s) ds , (4.12)
\frac{1}{e^\alpha -1} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta  - i \infty}^{\delta+i \infty} \alpha^{-\delta} \Gamma(s) \xi(s)ds, (¥delta > 1), (4.13)
L(\alpha) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{e^{k\alpha}-1} = \frac{1}{2 \pi i }\int_{\delta - i \infty}^{\delta + i \infty} \alpha^{-\delta} \Gamma(s) \xi(s)^2ds  ,(4.14)
s = 0, -1, -2, \cdots
 \left[ \frac{d}{ds} (\alpha^{-\delta} \Gamma(s)) + 2 \alpha^{-\delta} \Gamma(s) ( \xi(s) - \frac{1}{s-1}) \right]_{s=1} = \frac{1}{\alpha}(\log \frac{1}{\alpha} + C), (4.14a)
\Gamma(1) =-  C, \left[ \xi(s) - \frac{1}{s-1}]_{s=1} = C  , (4.14b)
C = 0.57 \cdots = Euler Constant , (4.14c)
L(\alpha) = \frac{1}{\alpha} ( \log \frac{1}{\alpha} + C ) + \frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta - i \infty}^{\delta + i \infty} \alpha^{-\delta} \Gamma(s) \xi^2(s)ds, ( 0 < \delta < 1) , (4.14d)
L(\alpha) = \frac{1}{\alpha} ( \log \frac{1}{\alpha} + C ) + \frac{1}{4}+ \frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta- i \infty}^{\delta + i \infty} \alpha^{-\delta} \Gamma(s) \xi^2(s)ds, ( 0 < \delta < 1), (4.15)
f(\alpha) = \sum_1^\infty \log (1-e^{-k\alpha})^{-1} = \sum_1^¥infty ¥frac{1}{k} ¥frac{1}{e^{k¥alpha}-1} , (4.17)
f(\alpha) = \frac{\pi^2}{6 \alpha} + \log \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} - \frac{\alpha}{24} +  \frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta- i \infty}^{\delta + i \infty} \alpha^{-\delta} \Gamma(s) \xi(s)¥xi(s+1)ds, (  \delta < -1), (4.18)

「Riemannの関係式 1)」
¥xi(s) = 2^s ¥pi^{s-1} sin(¥frac{¥pi}{2}s) ¥Gamma(s-1)¥xi(s-1)(4.18a)
f_1(¥alpha) = ¥frac{1}{2 ¥pi i} ¥int_{¥delta - i ¥infty}^{¥delta + i ¥infty} ¥alpha^s  ¥Gamma(-s) ¥xi(-s) ¥xi(-s+1) ds, ( ¥delta > 1) , (4.18b)
f(¥alpha) = ¥frac{¥pi^2}{6¥alpha} + ¥log ¥sqrt{¥frac{¥alpha}{2¥pi}} - ¥frac{¥alpha}{24} + f(¥frac{4pi^2}{¥alpha}) , (4.19)
¥lambda = - f^'(¥beta) = ¥frac{¥pi^2}{6¥beta^2}- ¥frac{1}{2¥beta} + ¥frac{1}{24} + o(¥beta) , (4.19a)
\beta =¥frac{\pi}{ \sqrt{6\lambda} , (4.20)
\overline{\mu}  \approx ¥frac{1}{¥beta}(¥log ¥frac{1}{¥beta}+C) ¥approx ¥frac{¥sqrt{6¥lambda}}{¥pi}(¥log ¥sqrt{¥frac{6¥lambda}{¥pi}}+C) , (4.21)
p(¥lambda) ¥approx ¥frac{1}{¥lambda ¥sqrt{48}}  ¥exp (¥pi ¥sqrt{¥frac{2¥lambda}{3}}) , (4.22)
「Heardy-Ramanujanの漸近式」
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