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確率論及統計論 >> Article details

2016/06/27

伏見康治「確率論及統計論」第IV章独立偶然量の和27節Bernoulliの定理

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伏見康治「確率論及統計論」  # 確率論及統計論  # 輪講http://bit.ly/28Ioon1
 
目次

第I章 数学的補助手段

第II章 確率論

第III章 記述的統計学

第IV章 独立偶然量の和

 27. Bernoulliの定理, Laplaceの定理

 28. 中央極限定理

 29. 漸近展開

 30. 微分方程式の方法

 31. 四捨五入に基づく誤差

 32. 統計力学に於ける極限定理

 33. 酔歩瞞柵の問題

第V章 時間的に経過する現象の確率

第VI章 物理工学に於ける揺らぎの現象

第VII章 確率と統計

第VIII章 エルゴード理論

第III章記述的統計学 27節Bernoulliの定理,Laplaceの定理
p.178
y_n = x_1 + x_2 + \cdots x_n, (27.0)\\
z_n = ¥frac{ x_1 + x_2 + ¥cdots x_n}{n} , (27.1) ¥¥
¥overline{y_n} = ¥sum_{1}^{n} ¥overline{x_i},  ¥overline{y_n^2}- ¥overline{y_i}^2 = ¥sigma^2(y_n) = ¥sum_1^n ¥sigma^2(x_i), (27.1a)¥¥
¥overline{z_n} = ¥frac{1}{n}  ¥sum_{1}^{n} ¥overline{x_i}, ¥sigma^2(z_n) = ¥frac{1}{n^2} ¥sum ¥sigma^2(x_i), (27.2)

「n→∞の極限を問題にする。このことを厳密に数学形式にのせるのは困難であるが、ここでは常識的に話を進めるのである。実際家にとってはnがはなはだ大きいというだけで足りるからである。」
¥sum_{1}^{n}  ¥sigma^2(x_i) = o(n^2) ,(o(¥xi): Landqu,  ¥xi ¥to ¥infty, ¥frac{o(¥xi)}{¥xi} ¥to 0)  (27.3)
p.179
「分散収斂, 確率収斂。Bienayme-Tshcebycheffの定理によって、分散率がはなはだ小さいことは、偶然量がその平均値から離れることの確率がはなはだ小さいことを意味する。分散収斂から確率収斂は結論されるが、逆は必ずしも真ではない。」
P¥left{ | z_n - ¥frac{1}{n} ¥sum¥overline{x_i}| > ¥epsilon ¥right} < ¥frac{¥sigma^2(z_n)}{¥epsilon^2} (27.4) ¥¥
Tschebycheffの定理
z_n - ¥overline{z_n} ¥to 0 , ( n ¥to ¥infty) (27.4a)¥¥
¥overline{x_i} = p_i, ¥sigma^2(x_i) =¥overline{x_i^2} -¥overline{x_i}^2 = p_i - p_i^2 = p_i q_i , (27.5)¥¥
\overline{z_n} = \sum_1^n \frac{p_i}{n} , (27.5a)\\
¥sigma^2(z_n) = ¥sum_1^n ¥frac{p_i q_i}{n^2} ¥le ¥frac{1}{4n} , (27.5b)¥¥
p.180
P¥left{  ¥left|¥frac{¥sum_1^n x_i}{n} - ¥frac{¥sum¥overline{p_i}}{n} ¥right| > ¥epsilon ¥right} < ¥frac{1}{4 n ¥epsilon^2} (¥xi(1-¥xi) ¥le ¥frac{1}{4}), (27.5c) ¥¥
P¥left{  ¥left|¥frac{¥sum_1^n x_i}{n} - p_i} ¥right| > ¥epsilon ¥right} < ¥frac{p(1-p)}{ n ¥epsilon} ¥le ¥frac{1}{4n¥epsilon} (p_i = p), (27.6) ¥¥
W_v = ¥begin{pmatrix} n ¥¥ v  ¥end{pmatrix} p^v q^{n-v} , (27.7) 
p.181
¥chi_1(t) = (pe^u + q) , (27.7a)¥¥
¥chi_n(t) = (pe^u + q)^n , (27.8)¥¥
W_v = ¥frac{1}{2 ¥pi i} ¥oint ¥frac{d ¥tau}{¥tau^{v+1}}(p¥tau+q)^n, (27.9)¥¥
¥frac{1}{2 ¥pi i} ¥oint ¥frac{d ¥tau}{¥tau} e^{n¥phi(¥tau)}, ¥phi(¥tau) = ¥log (p¥tau+q) - ¥theta ¥log ¥tau , (27.10)¥¥
¥tau = ¥tau_0 = ¥frac{¥theta_q}{p(1-¥theta)} , (27.10a)¥¥
p.182
|e^{¥phi(¥tau)}|^2 = ¥frac{(p¥tau_0)^2 + q^2 + 2pq¥tau_0 ¥cos ¥alpha}{¥tau_0^{2¥theta}} , (27.10b)¥¥
¥phi(¥tau_0 e^{i¥alpha}) = ¥phi(¥tau_0) - ¥frac{¥theta(1-¥theta)}{2} ¥alpha^2 + iC¥alpha^3 + C' ¥alpha^4 + ¥cdots, (27.10c)¥¥
¥frac{1}{2¥pi} e^{n¥phi(¥tau_0)} ¥frac{1}{¥sqrt{n}}  ¥int_{-¥alpha_0}^{+¥alpha_0} d¥alpha ¥cdot e^{-¥frac{n¥theta(1-¥theta) ¥alpha^2}{2}} ¥cdot ( 1 + O(n ¥alpha^3)) , (27.10d)
¥frac{1}{2¥pi} e^{n ¥cdot b(¥tau_0)} ¥frac{1}{¥sqrt{n}}  ¥int_{-¥sqrt{n}¥alpha_0}^{+¥sqrt{n}¥alpha_0} d¥alpha_0 ¥cdot e^{-¥frac{¥theta(1-¥theta) ¥alpha^2}{2}} ¥cdot ( 1 + O(¥frac{ ¥alpha^3}{¥sqrt{n}})) , (27.10e)¥¥
p.183
W_{¥theta n} ¥simeq ¥frac{e^{n¥phi(¥tau_0)}}{¥sqrt{2¥pi n¥theta(1-¥theta)}} ( 1 + O(¥frac{1}{¥sqrt{n}})), (27.11)¥¥
¥phi(¥tau_0) = ¥log ¥frac{q}{1-¥theta}- ¥theta ¥log ¥frac{¥theta q}{ (1-¥theta)p} , (27.11a)¥¥
¥phi(¥tau_0) = - ¥frac{1}{2pq} ¥xi^2 - ¥frac{1}{6} ¥frac{p-q}{p^2q^2} ¥xi^3 - ¥frac{1}{12} ( ¥frac{1}{p^3} + ¥frac{1}{q^3}) ¥xi^4 - ¥cdots , (27.11b)¥¥
W_{¥theta n} ¥simeq ¥frac{e^{- ¥frac{(v-pn)^2}{2npq}}}{¥sqrt{2¥pi n pq}} ( 1 + O(¥frac{1}{¥sqrt{n}})), (27.12)¥¥
p.184
¥lim_{n ¥to ¥infty} ¥frac{n(n-1) ¥cdots(n-v+1)}{v!} p^v(1-p)^{n-v}¥¥
= ¥lim ¥frac{n^vp^v}{v!}( 1 -¥frac{a}{n})^n = ¥frac{a^v}{v!} e^{-a} , (27.13)¥¥
(p¥tau + q)^n = ( 1 + ¥frac{a}{n} (¥tau -1))^n ¥to e^{n(¥tau-1)} , (27.14)¥¥
¥sum_{i=1}^n ¥log ( p_i ¥tau + q_i) = ¥sum_{i-1}^n ¥log ( 1 + p_1(¥tau -1)) ¥¥
= ¥sum_1^n ¥left{ p_i (¥tau-1) - ¥frac{(1+¥epsilon)}{2} p_i^2(¥tau -1)^2 ¥right} , (27.14a)
p.185
¥sum_1^n p_i^2 ¥le ¥max (p_i) ¥cdot ¥sum_1^n p_1 = ¥max (p_i) a , (27.14b)¥¥
\lim \log \prod_i (p_i \tau + q_i) = a( r - \cyr{d}) , (27.15) \\
f(x) = ¥frac{a}{n} f^* (x), (x = 1,2,3,¥cdots) , (27.15a)¥¥
(1 + ¥frac{a}{n} (-1 + ¥chi^* (¥tau)))^n ¥to ¥exp ( -a + a ¥chi^* (¥tau)) , (27.15b)¥¥
e^{-a + ¥frac{a(¥tau+¥tau^2)}{2}} , (27.15c)¥¥
¥lambda_1 - ¥frac{3}{2}a, ¥lambda_2 = ¥frac{5}{2} a, ¥lambda_k = ¥frac{1+2^k}{2}a , (27.15d)
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