カウンタ

COUNTER FROM 2016031871779

日誌

確率論及統計論 >> Article details

2016/06/21

伏見康治「確率論及統計論」第III章記述的統計学19節特性函数

Tweet ThisSend to Facebook | by kaizen
伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
第III章記述的統計学 19節特性函数
p. 133
¥chi(t) = ¥overline{e^{ixt}} = ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{ixt}f(x) dx , (19.1)
f(x) = ¥frac{1}{2¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{ixt}¥chi (t) dt , (19.2)
¥overline{e^{it(x+y)}}=¥overline{e^{itx}¥cdot e^{ity}} = ¥overline{e^{itx}}¥cdot  ¥overline{e^{ity}} = ¥chi(t) ¥theta(t) , (19.3)
h(z) dz = dz ¥cdot ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} f(x) g(z-x) dx , (19.4)
「和zの特性関数ζは」
p133
¥zeta(t) =¥int e^{izt} h(z) dz = ¥int e^{izt}dz ¥int f(x) g(z-x) dx
= ¥int ¥int e^{i(x+y)t} f(x) g(y) dxdy = ¥chi (t) ¥theta(t) , (19.4a)
「畳み込み(Faltung)」
h = f * g , (19.4b)
f = f_1 * f_2 * ¥cdots * f_n , (19.5)
¥chi = ¥chi_1 ¥cdot ¥chi_2 ¥cdot ¥cdots ¥cdot ¥chi_n  , (19.6)
¥lambda_r = ¥lambda_r^{(1)} + ¥lambda_r^{(2)} + ¥cdots + ¥lambda_r^{(n)} , (19.7)
¥mu_r = ¥left[ ¥mu^{(1)} + ¥mu^{(2)} + ¥cdots + ¥mu^{(n)} ¥right]^r , (19.8)

p.134
¥mu_1 =  ¥mu_1^{(1)} + ¥mu_1^{(2)} + ¥cdots + ¥mu_1^{(n)}  , (19.8a)
¥mu_2 =  ¥mu_2^{(1)} + ¥mu_2^{(2)} + ¥cdots + ¥mu_2^{(n)}  + 2¥mu_2^{(1)}¥mu_2^{(2)} + ¥cdots , (19.8b)
あるいは
M = M^{(1)} + M^{(2)} + ¥cdots + M^{(n)} , (19.9)
¥sigma^2 = ( ¥sigma^{(1)})^2 + (¥sigma^{(2)})^2 + ¥cdots + (¥sigma^{(n)})^2 , (19.10)
\chi (\tau) = \sum_{x=0}^\infty f(x) \tau^x , (19.11)
h(z) = ¥sum_{x=0}^z f(x) g(z-x) , (19.12)
¥chi(¥tau) ¥theta(¥tau) = ¥sum f(x) ¥tau^x ¥cdot ¥sum g(y) ¥tau^y , (19.13)
|¥chi(t)| = | ¥int e^{ixt} f(x) dx | < ¥int f(x) dx < ¥infty , (19.13a)

p.135
Laplaceの積分
¥chi(t)=  ¥int_0^¥infty e^{-xt} f(x) dx   , (19.14)
f(x) = ¥frac{1}{2¥pi i } ¥int_{¥alpha-i¥infty}^{¥alpha+i¥infty} e^{xt}¥chi (t) dt  , (¥alpha > 0) , (19.15)
Mellinの公式
 \frac{1}{2\pi } \int_{-\infty}^{+\infty} e^{x(\alpha+ i\beta)}\chi (\alpha+i\beta) d\beta 
= ¥frac{e^{x¥alpha}}{2¥pi } ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  d ¥beta ¥int_0^¥infty e^{i¥beta(x+ y)} ¥cdot e^{-y¥alpha} f(y) dy = e^{x¥alpha}¥cdot e^{-x¥alpha} f(x) = f(x) , (19.15a)
¥chi(t)  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  e^{itx} F(x) , (19.15b)
H(z) =  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} G(z-x) dF(x) , (19.15c)
H = G * F , (19.15d)
¥chi(t_1, t_2, ¥cdots, t_n) =   ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥cdots ¥int e^{-i (t_1 x_1+ ¥cdots + t_n x_n )} f(x_1, x_2, ¥cdots, x_n) dx_1 ¥cdots dx_n, (19.16)
f(x_1, x_2, ¥cdots, x_n) =   ¥frac{1}{(2¥pi)^n} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥cdots ¥int e^{-i (t_1 x_1+ ¥cdots + t_n x_n )} ¥chi(t_1, t_2, ¥cdots, t_n) dt_1 ¥cdots dt_n , (19.17)
¥phi(y) dy = ¥int ¥cdots ¥int f(x_1, x_2, ¥cdots, x_n) dx_1 ¥cdots dx_n, (y <a_1 x_1, a_2 x_2 , ¥cdots , a_n x_n < y ), (19.18)
¥phi(y) =  ¥frac{1}{(2¥pi) } ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  ¥chi( a_1 t, a_2 t, ¥cdots a_n t) e^{-iyt} dt , (19.19)
¥chi(t_1, t_2, ¥cdots, t_n) = 1 + i¥sum_i ¥mu_i^' t_i - ¥frac{1}{2} ¥sum ¥mu_{ij}^' t_i t_j + ¥cdots , (19.20)
¥log ¥chi(t_1, t_2, ¥cdots, t_n) =  i¥sum_i ¥mu_i^' t_i - ¥frac{1}{2} ¥sum ¥mu_{ij}^' t_i t_j + ¥cdots, (19.21)
z_i = x_i + y_i, (19.21a)
h(z) = ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥cdots ¥int f(x_1, x_2, ¥cdots, x_n) g(z_1 - x_1, ¥cdots , z_n -x_n) dx_1 ¥cdots dx_n, (19.21b)
¥zeta(t_1, t_2, ¥cdots, t_n) = ¥chi (t_1, t_2, ¥cdots, t_n) ¥theta (t_1, t_2, ¥cdots, t_n) , (19.21c)
21:18 | Impressed! | Voted(0) | Comment(0)