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確率論及統計論 >> Article details

2016/06/16

第II章確率論 8節公理系

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伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
第II章確率論 8節公理系
集合I, Iの部分集合A,B,・・・の系Mを考える。
(i) Mは集合体である。すなわちA,Bと共にA¥cup B, A¥cap B, B-A(B ¥subseteq A)がMに属する。, (8.0)
(ii)MはIを含む, (8.0a)
(iii)Mはどの要素Aにも一つの負ならざる実数P(A)が対応する, (8.0b)
(iv) P(I) =1, P(0) = 0, (8.0c)
(v) O(A ¥cup B) = P(A) + P(B) - P(A ¥cap B), (8.0d)
P(I) + P(0) = P(A) + P(A^') , (8.0e)

P(A^') = 1 - P(A)m (8.1)
AとBが排反事象なら
A ¥cup B = A + B, A ¥cap B = 0, (8.1a)
P(A + B ) = P(A) + P(B), (8.2)加法定理
排反事象なら
P(A_1 + A_2 + ¥cdots + A_r) = A(A_1) + P(A_2) + ¥cdots + P(A_r) , (8.3)
もしP(A)>0ならば、
P_A(B) = ¥frac{P(A¥cap B)}{P(A)} , (8.4)
¥frac{m(A ¥cap B)}{m(A)}=¥frac{ ¥frac{m(A ¥cap B)}{n}}{¥frac{m(A)}{n}}, (8.4a)
P(A ¥cap B) = P(A) P_A(B), (8.5)
帰納法で
P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_r ) = P(A_1) P_{A1}(A_2) P_{A_1 \cap A_2 }(A_3) \cdots P_{A1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_{r-1}} (A_r), (8.6) 乗法定理
P_A(B) ¥ge 0
P_A(I) = 1, P_A(A) = 1
P_A(B ¥cup C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(B ¥cap C) (8.7)
P(A ¥cap B) = P(B) ¥cdot P_B(A), (8.7a)
P_B(A) = ¥frac{P(A) P_A(B)}{P(B)} ,(8.8)
A_1 + A_2 + ¥cdots + A_r = I , (8.8a)
P(X) = P(A_1)P_{A_1}(X) + P(A_2)P_{A_2}(X) + ¥cdots + P(A_r) A_{A_r}(X),(8.9)
完全確率の定理 証明:
X = A_1 X + A_2 X + ¥cdots + A_r X ,(8.9a)
P(X) = P(A_1 X) + P(A_2 X) + ¥cdots + P(A_r X) , (8.9b)
Bayes の定理
A_1 + A_2 + ¥cdots + A_r = I , (8.8a)とすれば、任意のXに対して
P_X(A_i) = ¥frac{P(A_i)P_{A_i}(X)}{P(A_1) P_{A_1}(X) + ¥cdots P(A_r) P_{A_r}(X), (8.10)
証明:公式(8.8)に於いて
P_X(A_i) = \frac{P(A_i) P_{A_i}(X)}{P(X)} (8.10a)
事後(アポステリオリ)確率
事前(アプリオリ)確率
A ¥cap B ¥cap C ¥cap ¥cdots ¥cap R , (8.10b)
\sum p_k = \sum_{l=k}^r  \begin{pmatrix} l \\ k  \end{pmatrix} \sum p_{l,r \to l}, (8.11)
\sum p_{l, r ¥to l} = \sum_{k=l}^r  \begin{pmatrix} k \\ l  \end{pmatrix} \sum p_k , (8.12)
¥sum_{l=h}^r\sum p_{l, r \to l} = \sum_{k=h}^r (-1)^{k-h} \begin{pmatrix} k-1 \\ k-h  \end{pmatrix} \sum p_k, (8.13)
\sum_{l=1}^r\sum p_{l, r \to l} = \sum_{k=1}^r (-1)^{k-1}  \sum p_k , (8.14)
P(A ¥cup B ) = P(A)+P(B) - P(A ¥cap B), (8.14a)
P(A ¥cup B ¥cup C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(B ¥cap C) - P(C ¥cap A ) - P(A ¥cap B) + P(A ¥cap B ¥cap C) , (8.14b)

例:52枚のトランプを四人に配るときAがある特定人に少なくとも一枚与えられる確率。
p_k  = \frac{\frac{(52 - k)!}{(13-k)!(13!)^3}}{\frac{52!}{(13!)^4}}= ¥frac{1}{4}, ¥frac{1}{17}, ¥frac{11}{850}, ¥frac{11}{4165}, ¥frac{}{} (I = 1,2,3,4), (8.14c)
¥begin{pmatrix}4¥¥ 1 ¥end{pmatrix} ¥frac{1}{4} - ¥begin{pmatrix}2 ¥¥ 4 ¥end{pmatrix} ¥frac{1}{17}+ ¥begin{pmatrix}4¥¥ 3 ¥end{pmatrix} ¥frac{11}{850}- ¥begin{pmatrix}4¥¥ 4 ¥end{pmatrix}¥frac{11}{4165} = ¥frac{14498}{20825} = 0.6962 ¥cdots, (8.14d)
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