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2016/06/18

第II章確率論 12節 古典的例題

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 伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
    第II章確率論 12節 古典的例題
(1) de Monmortの問題

p_{kl} = ¥frac{1}{n(n-1)}, p_{kim} = ¥frac{1}{n(n-1)(n-2)}, ¥cdots , (12.1)
p^{1+2+\cdots + n} = \sum_k p^k - \sum_{(kl)} p^{kl} + \sum_{(klm)} p^{klm}  ¥pm \cdots \pm p^{123 \cdots n} ,(12.2)
各総和記号内の項の数は順次に
n, ¥begin{pmatrix} n ¥¥ 2 ¥end{pmatrix},  ¥begin{pmatrix} n ¥¥3 ¥end{pmatrix}, ¥cdots , (12.2a)

p^{1+2+\cdots + n} = 1 - ¥frac{1}{2!} +  ¥frac{1}{3!} - + ¥cdots ¥pm   ¥frac{1}{n!}  ,(12.3)
F_v (n+1) = nF_v(n) + f_1(n) , (12.4)
F_1(n) = nF_n(n-1) , (12.5)
P_n(n+1)  - nF_v(n) - nF_v(n-1) = 0 , (12.6)
F_v(n) = n! ¥cdot G(n) , (12.7)
(n+2) G(n+2) - (n+1) G(n+1) - G(n) = 0 , (12.7a)

或いは¥Delta G(n) ¥equiv G(n+1) - G(n)
(n+2) ¥Delta G(n + 1) + ¥Delta G(n) = 0 ,(12.8)
一階の定差方程式。
求積方で
¥Delta G(n) = ¥Delta G(0) ¥cdot ¥prod_{n=0}^{n-1} ¥frac{(-1)}{n+2} = ¥frac{(-1)^n}{(n-1)!} = ¥Delta G(0) , (12.9)
積分すなわち総和すれば良い。
G(n) = G(0) + ¥sum_{n=0}^{n-1} ¥Delta G(n) - G(0) + ¥Delta G(0) ¥cdot (1 - ¥frac{1}{2!} + ¥cdots ¥pm ¥frac{1}{n!}) , (12.10)
p^{1'2' ¥cdots n'} = 1-p^{1+2+\cdots + n} = ¥frac{P_n(n)}{n!} = G(n) , (12.10a)
定差方程式を解く一つの有力な方法はLaplaceの変換
F(n) = ¥int_a^b i^{n-1} f(l) dl , (12.11)
を援用する。Fを求める代わりfを探す。
(12.11)を定差方程式(12.6)に代入して部分積分を行えば
0 = ¥int_a^b ¥left{i^2 - (n+1) l - (n+1)¥right} f(l) dl
= - ¥left| l^n(1+l) f(l)¥right|_a^b + ¥int_a^b l^{n-1} ¥left{(l^2 +1) f(t) + (l^2-1) f(t)¥right} dt , (12.12)
積分が0になるように
(l^2 + t)f'(t) + (l^2 -1) f(t) = 0 , (12.13)
この部分方程式の解は
f(t) = t e^{-t} , (12.14)
である。 (12.129の積分部分が零になるためには、a,bなる積分の上下限に対して、-1, 0, ∞の内の二つを選ぶ必要がある。
故に我々は二つの独立な解
¥int_{-1}^0 t^n e^{-t} dt, ¥int_0^¥infty t^n e^{-t} dt = n! ,(12.15)
を得る。一般解は両方の一時結合で表せる。
定差方程式を解く第三の方法は、普通の母函数
¥chi (t) = ¥sum_{n-1}^¥infty G(n) t^n  (12.16)
¥frac{1}{t} ¥frac{d¥chi}{dt} - ¥frac{d ¥chi}{dt} - ¥chi = G(1) ¥cdot ¥frac{1}{t}, (12.17)
この右辺が零と置けないことは定差方程式がすべての整数値
 n = ¥cdots , -2, -1, 0, 1, 2, ¥cdots
に対して成り立たないことから。
この微分方程式を解いて
¥chi (t) = (G(0) - G(1)) ¥frac{e^{-t}}{1-t} + G(1)¥frac{1}{1-t} , (12.18)
を得る。
X(0) = G(0) であるべきだから、G(0) =1, G(1) = 0と代入して
¥chi (t) = ¥frac{e^{-t}}{1-t} , (12.19)
上辺のべき級数と可変のべき級数とを掛け合わせてtのn乗の係数を求めれば(12.3)を得る。
p^{1+2+\cdots +n} = (1-e^{-t} + (-1) ^{n+1} \left{ \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!} + - \cdots \right} , (12.20)
p^{\overline{1}\overline{2}\cdots \overline{n}} = 1-p^{1+2+\cdots +n}   = ¥frac{1}{e ¥cdot n!} ¥left{ ¥int_{-1}^0  t^n e^{-t} dt + n!¥right}
 = e^{-1} + e^{-1}(-1)^n ¥frac{1}{n!} ¥int_0^1 t^n e^t dt , (12.21)
¥int_0^1 t^n e^t dt = ¥frac{e}{n+1} - ¥frac{1}{n+1} ¥int_0^1 t^{n+1}e^t dt
= e \left{ \frac{1}{n+1} \frac{1}{(n+1)(n+2)} + - \cdots + (-1)^v \frac{1- R_v}{(n+1)\cdots(n+v-1)}\right} , (12.22)
剰余項Rvについては
R_v = ¥int_0^1 t^{n+v-1} e^t dt < e ¥int_0^1 e^{n+v-1} dt = ¥frac{e}{n+v} , (12.22a)
第二の積分表示で、(12.19)によれば
p^{\overline{1}\overline{2}\cdots \overline{n}} = ¥frac{1}{2 ¥pi i} ¥oint ¥frac{dt}{e^{n+1}} ¥frac{e^{-t}}{1-t} , (12.23)
p^{\overline{1}\overline{2}\cdots \overline{n}} = e^{-1}\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{dt}{e^{n+1}} \frac{e^{-t}}{1-t} , (12.24)
積分路は、例えば半径|t|>1の円である。そこで
¥frac{1}{1-t} = ¥frac{1}{t} ¥frac{-1}{1-¥frac{1}{t}} = ¥frac{1}{t} ¥left{ 1 + ¥frac{1}{t} + ¥cdots + ¥frac{1}{t^v} + ¥frac{t^{v+1}}{1-t}¥right} , (12.24a)
\frac{1}{r!} \left{ 1 - \frac{1}{1!} + ¥frac{1}{2!} \cdots ¥pm \frac{1}{(n-r)!} \right}, (12.25)
平均値1のPoissonの分布

(2) 小見本の問題
\frac{ \begin{pmatrix}  A \\  a \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  B \\  b \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} N \\  n \end{pmatrix} } , (a+b=n) , (12.26)
¥sum_a  \begin{pmatrix}  A \\  a \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  B \\  n-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A+B \\  n \end{pmatrix}  , (12.26a)
¥overline{a} = \sum_a  ¥frac{\begin{pmatrix}  A \\  a \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  B \\  n-a \end{pmatrix} ¥cdot a}{ \begin{pmatrix} A+B \\  n \end{pmatrix}} = n ¥cdot ¥frac{A}{A+B}  , (12.27)
¥overline{(a - ¥overline{a})^2} = ¥frac{AB}{n^2}¥cdot ¥frac{n(N-n)}{N-1} , (12.28)
  \begin{pmatrix}  n \\  a \end{pmatrix}  p^a q^b , (p+q=1, a+b = n) , (12.29)
Newtonの公式。
二項分布
(12.27), (12.28)は
¥overline{a} = np, ¥overline{(a - ¥overline{a})^2} = npq , (12.30)
\phi (p)dp = \frac{  \begin{pmatrix}  n \\  a \end{pmatrix}p^a (1-p)^b ¥phi (p)dp }{ ¥int_0^1 \begin{pmatrix}  n \\  a \end{pmatrix} p^a (1-p)^b  ¥phi(p) dp}
 = \frac{p^a   (1-p)^b \phi (p)dp }{ \int_0^1 p^a (1-p)^b  \phi(p) dp} , (12.31)
¥phi(p) = const. = 1と置けば
\phi (p) = \frac{p^a (1-p)^b  }{ \int_0^1 p^a (1-p)^b  dp} =  \begin{pmatrix}  n+1 \\  a \end{pmatrix} ¥cdot p^n (1-p)^b, (12.32)
\phi (p) =  \begin{pmatrix}  N \\  A \end{pmatrix} \cdot p^{A} (1-p)^{B}を仮定すれば
\phi (p) =  \begin{pmatrix}  n+N+1 \\  a+A \end{pmatrix} \cdot p^{n+A} (1-p)^{b+B} , (12.32a)
を得る。
 , (12.33)
これもアプリオリ確率に関係する。
式(12.33)でa,bが共にはなはだ大きければ、函数p^a(1-p)^b
p_0 = ¥frac{a}{a+b}, (12.33a)
で最大値をとり、その両側で急激に減少する。それゆえ、(12.33)は、φ(pv)の値に関せず

  \begin{pmatrix}  n' \\  a' \end{pmatrix}   p_0^{a'} (1-p_0)^{b'}  , (12.33b)

(3) 破産の問題
u(n) = pu(n+1) + qu(n-1) , (12.34)
その根x1=1, x2=q/pである。ゆえに(12.34)の解の一般形は
u(n) = c_1 + c_2(¥frac{q}{p})^n , (12.34a)
この境界条件を入れると
u(n) =  ¥frac{(¥frac{q}{p})^n -1}{(¥frac{q}{p})^{a+b}-1} , (12.35)
求めるものはこの式でa=nとすればよい。この勝つ確率はp、qならびにa,bを交換すると得る。両者の和は1である。即ち勝負がつかないという確率は零である。これは当然?
技量伯仲(p=a=1/2の場合には、(12.35)は不定形となるが、極限移行を行って、甲の勝つ確率
u(a) = ¥frac{a}{a+b} , (12.36)
を得る。
もし、またハンディキャップなし(a=b)で勝負を争うものとすれば(12.35)は
n(a) = ¥frac{p^a}{p^q+q^a} , (12.37)
n(2m) = n(2m-1) , (n=2m) , (12.38)
n(2m+1) = ¥frac{1}{2}¥cdot u(2m) + ¥frac{1}{2}¥cdot u', ( n=2m+1) , (12.38a)
\frac{  \begin{pmatrix}  ¥alpha + ¥beta \\  ¥alpha \end{pmatrix}   -2   \begin{pmatrix}  ¥alpha + ¥beta -1 \\  ¥alpha \end{pmatrix}   }{  \begin{pmatrix}  ¥alpha + ¥beta \\  ¥alpha \end{pmatrix}   }=\frac{¥alpha-¥beta}{¥alpha+¥beta} , (12.39)
u(2n+1) = u(2m) - \frac{1}{2(2m+1)}\cdot\frac{1}{2^{2m+1}}   \begin{pmatrix}  2m+1 \\  m \end{pmatrix}    , (12,40)
(12.38)と結合して
u(2n+2) = u(2m) - \frac{1}{2(2m+1)}\cdot\frac{1}{2^{2m+1}}   \begin{pmatrix}  2m+1 \\  m \end{pmatrix}    , (12.40a)
右辺第二項は
 \frac{1}{2^{2m}}  \begin{pmatrix}  2m \\  m \end{pmatrix} -  \frac{1}{2^{2m+2}}  \begin{pmatrix}  2m+2 \\  m+1 \end{pmatrix}  ,(12.40b)
u(n)  ¥sim ¥sqrt{¥frac{2}{n ¥pi}} , (12.42)

(4) Tschebycheffの問題
nより小さい自然数がpi で割り切れる確率
¥frac{1}{n} ¥left[ ¥frac{n}{p_i} ¥right] ,(12.43)
[z] はzより小さい最大の整数。即ちzの整数部分である。
nが非常に大きければ、これは1/piとして差し支えない。
#誤差の範囲

従って割り切れない確率は1-1/piである。

二つの素数pi,pkで割り切れる確率は
\frac{1}{n} \left[ \frac{n}{p_i p_k} \right] ¥simeq ¥frac{1}{p_i p_k} , (12.43a)
公式(8.14)を適用すると求める確率は
1- \sum \frac{1}{p_i} + \sum \frac{1}{p_i p_k} - + \cdots \pm \frac{1}{p_1 p_2 \cdots p_n} 
= (1-¥frac{1}{p_1})(1-¥frac{1}{p_2}) ¥cdots ( 1- ¥frac{1}{p_n}) , (12.44)
2つの自然数が共にpiで割り切れる確率は1/pi^2である。
従って二つの自然数の商で作られる分数が素数piで約分されない確率は

= (1-\frac{1}{p_1}^2)(1-\frac{1}{p_2}^2) \cdots ( 1- \frac{1}{p_n}^2) , (12.45)
p = \prod_i ( 1-\frac{1}{p_i^2}) , (p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, ¥cdots) , (12.46)
pの逆数を展開すると
¥prod_i ( 1-¥frac{1}{p_i^2})^{-1}=¥prod_i (1+\frac{1}{p_i^2}+\frac{1}{p_i^4} + \frac{1}{p_i^6}+ ¥cdots)
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} , (12.46a)
p = ¥frac{6}{¥pi^2} = 0.6079 ¥cdots , (12.47)
これをTschebycheffの定理という。

(5) de Mivreの問題

¥chi (x) = (x + x^2 + ¥cdots + x^n)^m = ¥left[ x (1-x^n) (1-x)^{-1}¥right]^m, (12.48)
(12.48)のxのs乗の係数を求めてnのm乗で割れば求める確率pである。
(1-x^n)^m = \sum_{k=0}^{m} \begin{pmatrix} m \\ k  \end{pmatrix} (-1)^k x^{kn}, (12.48a)
(1-x^n)^{-m} = \sum_{l=0}^{¥infty} \begin{pmatrix} m +l -1\\ l  \end{pmatrix}  x^{l} , (12.48b)
p = ¥frac{1}{n^m} \sum_{k=0}^{¥left[ ¥frac{s-m}{n} ¥right]} (-1)^k\begin{pmatrix} m\\k  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} s -1 -kn\\ m-1 \end{pmatrix} , (12.49)
¥overline{s} = ¥frac{m(n+1)}{2} , (12.50)
\overline{(s-\overline{s})^2 } = m ¥cdot\frac{n^2-1}{12} , (12.51)
\overline{s} = \frac{1}{n^m} ¥left( ¥frac{d¥chi}{dx}¥right)_{x=f'}
\overline{(s-\overline{s})^2 } =  \frac{1}{n^m}\left( \frac{d^2\chi}{dx^2}+\frac{d\chi}{dx}\right)_{x=1} + ¥frac{1}{n{2m}}\left( \frac{d\chi}{dx}\right)_{x=1}^2, (12.52)
母函数を使ってpの漸近値を求めよう。
s-¥overline{s} = r , (12.52a)
と置けば
p(s) = ¥frac{1}{n^m}¥frac{1}{2 ¥pi i}¥oint ¥frac{dx}{x^{s+1}} x^m (¥frac{1-x^n}{1-x})^m
= \frac{1}{n^m}\frac{1}{2 \pi i}\oint \frac{dx}{x^{r+1}} ¥left[x^{¥frac{-(n-1)}{2}} \frac{1-x^n}{1-x}¥right]^m, (12.52b)
角括弧の中の対数微分はx=1で零になり、これを鞍部点として採用する。その近くで展開すると
\log \left[x^{\frac{-(n-1)}{2}} \frac{1-x^n}{1-x}\right] = log n + \frac{1}{2}\cdot \frac{n^2-1}{12} \cdot (x-1)^2 + \cdots, (12.52c) 
# []要確認。m乗を含むかどうかなど。
ゆえに
x = e^{iy} , (12.52d)
として
p(s) ¥simeq \frac{1}{2¥pi} \int_{-¥infty}^{+¥infty} dy ¥exp (  -\frac{m}{2} \frac{n^2-1}{12} y^2 + iry)
= ¥sqrt{¥frac{6}{¥pi m (n^2-1)}} ¥exp (¥frac{-6r^2}{m(n^2-1)}), (12.53)

(6) 繰り返しの問題
女男男・・・男女なるm-繰り返しが現れる確率は
p^mq^2 , (12.53a)
であるが、この行列がn個の配列の中に占める可能な一は、
(n-m-1)個あるから
(n-m-1)p^mq^2 , (12.54)
¥overline{s} = ¥sum sp_s = (n-m-1)p^mq^2 , (12.55)
¥overline{s} ¥simeq n p^m q^2 , (12.55a)
\overline{(s-\overline{s})^2 } = \overline{s^2} -\overline{s}^2 =\overline{s} , (12.56)
ps ¥simeq ¥frac{¥overline{s}^s e^{-¥overline{s}}}{s!} , (12.57)
Poissonの分布になる。

(7) Mendel法則
g(0) = f(0,0) + ¥frac{1}{2} f(0,1) , (12.57a)
g(1) = f(1,1) + \frac{1}{2} f(0,1) , (12.57b)
f^*(0,0) = g(0)g(0) = \left[ f(0,0) + \frac{1}{2} f(0,1)\right]^2
f^*(0,1) = g(0) g(1) + g(1) g(0) = 2\cdot ( f(0,0) + \frac{1}{2} f(0,1)) ( f(1,1) + \frac{1}{2} f(0,1))
f^*(1,1) = g(1)g(1) = ¥left[  f(1,1) + \frac{1}{2} f(0,1)¥right]^2, (12.58)
遺伝質には優勢と劣勢の区別がある。雑種(0,1)は1が優勢ならば(1,1)と同じ外見を呈し0,1なる外見上の分布は
f~*(0,0), f^*(0,1) + f^*(1,1) , (12.58a)
となる。
f(0,0) = p(0,0), f(0,1) = 2p(0,1) = 2p(1,0) , f(1,1) = p(1,1), (12.58b)
と書けば(12.58)は簡単に
p^* (x,y) = ¥sum_u p(x,u) ¥cdot ¥sum_v p(y,v), (12.59)
とかける。
Hardyの定理。第三代以後の分布状態は第二代と変わりがない。
\sum_y p^*(x,y) = \sum_u p(x,u) ¥cdot \sum_{y^v} p(y,v) = \sum_u p(x,u) \cdot 1
第三代の分布は
p^{**}(x,y) = \sum_u p^*(x,u) \sum_v p^*(y,v) = \sum_u p(x,u) \cdot \sum_v p(y,v) = p^*(x,y), (12.60)
となる。
p(x_1,y_1; ¥cdots ; x_r,y_r) = ¥frac{1}{2^¥beta} f(x_1,y_1; ¥cdots ; x_r,y_r) , (12.61)
g(x_1; \cdots ; x_r) =¥sum_{(y)}p(x_1,y_1; \cdots ; x_r,y_r) , (12.62)
¥frac{f^*(x_1,y_1;¥cdots;x_r,y_r)}{2^{¥beta (x_1 y_1 ¥cdots x_r y_r) }}¥equiv p^*(x_1 y_1 ¥cdots x_r y_r)
= ¥frac{1}{2^r} ¥sum_{u,v = x,y} g(u_1; ¥cdots ; u_r ) g(v_1; ¥cdots ; v_r), (12.63)
(12.63)から第二代のg*をつくると

g*(x_1; ¥cdots; x_r)= \frac{1}{2^r} ¥sum_y \sum_{u,v = x,y} g(u_1; \cdots ; u_r ) g(v_1; \cdots ; v_r) , (12.64)
g*(*; x_2; \cdots; x_r)= \sum_{x_1}  g*(x_1; x_2; \cdots; x_r)
g*(*; *; x_3; \cdots; x_r)= \sum_{x_1,x_2}  g*(x_1; x_2; x_3; \cdots; x_r), (12.65)
g*(*; *; \cdots; *)= 1 , (12.65a)
g*(x_1; \cdots; x_r)= \frac{1}{2^m}  \sum_{u,v = x,y} g(u_1; \cdots ; u_r ) g(v_1; \cdots ; v_r), (12.64a)
g*(x_1 \cdots x_s *¥cdots *)= \frac{1}{2^m}  \sum_{u,v = x,*} g(u_1 \cdots  u_s  * \cdots *) g(v_1 \cdots v_s * \cdots *) , (12.66)
g*(x_1  *\cdots *)= g(x_1   * \cdots *) , (12.66a)
g*(x_1 x_2 *\cdots *)= \frac{1}{2^2} ¥left{ g(x_1   x_2  * \cdots *) g( * * * \cdots  *)
+ g(x_1   *  * \cdots *) g( * x_2 * \cdots  *) + g(* x_2     * \cdots *) g(  x_1 * * \cdots  *)
+ g(*   *  * \cdots *) g( x_1 x_2 * \cdots  * ) }
= ¥frac{1}{2}g(x_1   x_2  * \cdots * ) + ¥frac{1}{2} g(  x_1 * * \cdots  *)  g(* x_2     * \cdots *) , (12.67)
g*(x_1  x_2 *\cdots *)= g(x_1 x_2  * \cdots *) (12.67b)
となるのは、
g(x_1 x_2 *\cdots *)= g(x_1  *  * \cdots *) g( *x_2* * \cdots  *) , (12.67a)
と因数分解するときに限る。
g(x_1 x_2 x_3 *\cdots *)= \frac{1}{4}  g(x_1   x_2  x_3 * \cdots *) + \frac{3}{4}g( x_1 * * \cdots  *)g( * x_2  * \cdots  *)g(  * * x_3 \cdots  *)
, (12.68)
必充条件は
g(x_1 x_2 x_3 *\cdots *)= g(x_1  *  * \cdots *) g( *x_2* * \cdots  *) g( * * x_3  \cdots  *), (12.68a)
定常状態は
g(x_1 x_2 x_3 \cdots x_r)= g(x_1  *  * \cdots ) g( *x_2 * \cdots  ) g( *   \cdots  * x_r) , (12.69)

\Delta g^{n*}(x_1 x_2 x_3 \cdots x_r)= g^{n*}(x_1 x_2 \cdots ) - g( x_1 * \cdots  ) g( * x_2 *  \cdots  ) \cdots , (12.70)
(12.67)によれば
g^{n*}(x_1 x_2 *\cdots *)= \frac{1}{2}(g^{n-1*}(x_1 x_2   * \cdots *) + g( x_1  * \cdots  *)g( *x_2 * \cdots  *)) ,(12.70a)
であって、従って
\Delta g^{n*}(x_1 x_2 x_3 \cdots *)= ¥frac{1}{2} ¥Delta g^{n-1*}(x_1 x_2 * \cdots *)  , (12.71)
\lim_{n \to \infty} p^{n*} =  g(x_1    * \cdots ) g( y_1 * \cdots  ) ¥cdots g( *   \cdots  * x_r) g( *   \cdots  * y_r)  , (12.72)

(8) Buffonの針の問題
右側から交わるためには
x ¥le ¥frac{l}{2}¥cdot ¥cos ¥theta , (12.73)
左側から交わるためには
-x \le \frac{l}{2}\cdot \cos \theta , (12.74)
xの領域として
¥frac{-a}{2} ¥le x < ¥frac{a}{2} , (12.74a)
p =¥frac{ \int_{x \le \frac{l}{2}\cdot \cos \theta, -x \le \frac{l}{2}\cdot \cos \theta } dx d ¥theta }{¥int_{|x| < ¥frac{a}{2}, |¥theta|< ¥frac{¥pi}{2}}dx d ¥theta}= ¥frac{2l}{¥pi a} , (12.75)

(8.1) でたらめな三角形
x_1 + (x_2 - x_1)  ¥ge l - x_2
(x_2-x_1) + (l-x_2) ¥ge x_1
(l-x_2) + x_1 ¥ge x_2 - x_1 , (12.75a)
三次元の空間でものを考える
\frac{\partial ( l_1, l_2)}{\partial (x_1, x_2)} = const. = 1 , (12.75b)

\frac{\partial ( l_1, l_2 ¥cdots l_n)}{\partial (x_1, x_2¥cdots x_n)} = 1 , (12.75c)

f_n(a) =\frac{ \int_{l_1 + l_2 + \cdots + l_n = l-a }  dl_1 dl_2 \cdots dl_n  }{\int_{l_1 + l_2 + \cdots + l_n = l} dl_1 dl_2 \cdots dl_{n+1} = \frac{n}{l^n}(l-a)^{n-1} , (12.75d)
¥overline{a} = ¥int_0^l af_n(a) da = ¥frac{1}{n+1} , (12.75e)
f_n(a) ¥to lim_{n ¥to ¥infty} ¥frac{n}{l} (1- ¥frac{a¥sqrt{a}}{n+1})^{n-1} = ¥frac{1}{a}e^{-a¥sqrt{a}} , (12.75f)


(9) β線のエネルギー分布


E_i = c ¥sqrt{(m_i c)^2 + p_i^2} , ( i = 1,2) , (12.76)
p_i^2dp_1 ¥cdot p_2^2 dp_2
に比例する
p_i^2dp_1 \cdot \left{  ( \frac{E}{c} - \sqrt{(m_1c)^2 + p_1^2})^2 - (m_2c)^2\right} , (12.77)
 \sqrt{( \frac{E_1}{c})^2  - (m_1c)^2 } \cdot E_1 dE_1 \cdot \left{ (\frac{E-E_1}{c}-(m_2c)^2 \right} , (12.78)

 \sqrt{E_1^2  - (m_1 c^2)^2 } \cdot (E-E_1)^2 E_1 dE_1  , (12.78a)
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