カウンタ

COUNTER FROM 2016031872529

日誌

確率論及統計論 >> Article details

2016/06/23

確率論及統計論第III章記述的統計学 25節Hremite多項式,Hermite函数

Tweet ThisSend to Facebook | by kaizen
伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
第III章記述的統計学 25節Hremite多項式,Hermite函数
e^{xt -¥frac{1}{2}t^2} = ¥sum_{m=0}^¥infty H_m(x) ¥cdot ¥frac{t^m}{ m!} , (25.1)
H_m^{'} (x) = 2^{¥frac{m}{2}}  H_m (2^{¥frac{1}{2}}x)) , (25.1a)*
¥frac{dH_m(x)}{dx} = mH_{m-1}(x) , (25.2)
H_{m+1}(x) - xH_m(x) + mH_{m-1} (x) = 0 , (25.3)
¥frac{d^2 H_m}{dx^2} - x ¥frac{dH_m}{dx} + mH_m =0 , (25.4)
H_m(x) = (-1)^m e^{¥frac{x^2}{2}} ¥frac{d^m}{dx^m} (e^{-¥frac{x^2}{2}}) , (25.5)
¥left.H_0(x) =1 ¥¥H_1(x) = x¥¥H_2(x) = x^2-1¥¥H_3(x) = x^3 -3x¥¥H_4(x) = x^4 - 6x^2 +3¥¥ H_5(x) = x^5 -10x^3 + 15x¥¥H_6(x) = x^6 - 15x^4 + 45x^2 -15¥¥ ¥cdots ¥cdots ¥cdots  ¥right} , (25.6)
H_m(x) = x^m - ¥frac{m(m-1)}{2 ¥times1!} x^{m-2} +¥frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2 ¥times 2!} x^{m-4} ¥cdots , (25.6a)*
¥frac{1}{¥sqrt{1-t^2}} ¥exp ¥left{ - ¥frac{t^2(x^2+y^2) - 2txy}{2(1-t^2)} ¥right} = ¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{t^m}{m!} H_m(x) H_m(y) , (|t|<1), (25.7)
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{u^2}{2}} du = 1, (25.7a)
 e^{-¥frac{x^2}{2}} = ¥frac{(1}{¥sqrt{2¥pi}} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}   e^{-¥frac{u^2}{2}+ixu} du  , (25.8)
e^{-¥frac{x^2}{2}}H_m(x) = ¥frac{(-i)^m}{¥sqrt{2¥pi}} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} u^m  e^{-¥frac{u^2}{2}+ixu} du  , (25.9)
 ¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{t^m}{m!} e^{-¥frac{x^2 + y^2}{2}} H_m(x)H_m(y) 
 =  ¥frac{1}{2¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  ¥frac{(-tur)^m}{m!} e^{-¥frac{u^2}{2}-¥frac{v^2}{2}+ixu + iyv} du dv
 =¥frac{1}{2¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}¥int_{-¥infty}^{+¥infty}   e^{-¥frac{u^2}{2}-¥frac{v^2}{2}+ixu + iyv-tuv} du dv
= ¥frac{e^{-¥frac{y^2}{2}}}{¥sqrt{2¥pi}}  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  e^{-(1-t^2) ¥frac{u^2}{2}+ixu -iytu} du
  = ¥frac{1}{¥sqrt{1-t^2}} e^{-¥frac{y^2}{2}-¥frac{(x-yt)^2}{2(1-t^2)}} , (25.9a)
¥frac{d}{dx} ¥left{ ¥frac{dH_m}{dx} H_n- H_m ¥frac{dH_n}{dx} ¥right} -x ¥left{ ¥frac{dH_m}{dx} H_n - H_m¥frac{dHn}{dx}¥right} = (n-m)H_m H_n   , (20.9b)
¥frac{d}{dx} ¥left[ e^{-¥frac{x^2}{2}} ¥left{ ¥frac{dH_m}{dx} H_n- H_m ¥frac{dH_n}{dx}¥right} ¥right] = (n-m)e^{-¥frac{x^2}{2}} ¥cdot H_m H_n  (25.9c)
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} H_m(x) H_n(x) dx = 0, (n\ne m)   , (25.10)
¥frac{1}{¥sqrt{1-t^2}} e^{¥frac{tx^2}{1+t}} = ¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{t^m}{m!} ¥left[ H_m(x)¥right]^2 , (25.10b)
 ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi}} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{-¥frac{x^2}{2}} ¥left[ H_m(x) ¥right]^2 dx = m!, (25.11)
p.163
¥phi_m(x) - ¥frac{H_m(x)}{¥sqrt{m!}} ¥frac{¥rho^{-¥frac{x^2}{4}}}{(2¥pi)^{¥frac{1}{4}}} , (25.11a)
 ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥phi_m(x)¥phi_n(x) dx ¥left{ 0 (n ¥ne m) ¥¥ 1 ( n=m) ¥right. , (25.10a)
「Hermite函数φm(x)の積分性質の一つとしてそのFourier共軌函数を計算して置く」
¥sqrt{m!} (2¥pi)^{¥frac{1}{4}} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥phi_m(x) e^{¥frac{txy}{2}} dx = ¥int H_m(x) e^{-¥frac{x^2}{4}+¥frac{txy}{2}} dx
=(-1)^m ¥int e^{-¥frac{x^2}{4}+¥frac{txy}{2}} ¥frac{d^m}{dx^m} (e^{-¥frac{x^2}{2}}) dx
= ¥int e^{-¥frac{x^2}{2}}¥frac{d^m}{dx^m} (e^{¥frac{x^2}{4}+¥frac{txy}{2}}) dx
=  e^{\frac{y^2}{4}}\int e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{d^m}{dx^m} (e^{+\frac{(x+ty)^2}{4}}) dx
=  e^{¥frac{y^2}{4}}¥int e^{-¥frac{x^2}{2}}(-1)^m¥frac{d^m}{dy^m} (e^{+¥frac{(x+ty)^2}{4}}) dx
= (-1)^m e^{¥frac{y^2}{4}}  ¥frac{d^m}{dy^m} (¥int e^{-¥frac{x^2}{2}+¥frac{(x+ty)^2}{4}} dx)
= (-1)^m e^{¥frac{y^2}{4}}  ¥frac{d^m}{dy^m} (e^{-¥frac{y^2}{2}} ¥int e^{-¥frac{(x+ty)^2}{4}} dx)
= 2¥sqrt{¥pi} ¥cdot i^m ¥cdot ¥phi_m(y) ¥cdot ¥sqrt{m!} (2¥pi)^{¥frac{1}{4}} , (25.11b)
= ¥frac{1}{2¥sqrt{¥pi}}   ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥phi_m(x)  e^{¥frac{ixy}{2}}  dx = i^m ¥cdot ¥phi_m(y) , (25.12)
 ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} | f(x) - ¥sum a_m ¥phi_m(x) |^2 dx , (25.13)
 ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥left{f(x) - ¥sum_{n=0} a_n ¥phi_n(x) ¥right} ¥phi_m(x) dx =0 , (25.13a)
 a_m =  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}f(x)  ¥phi_m(x) dx , (25.14)
 ¥lim_{n ¥to ¥infty}  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} |f(x) - ¥sum_{m=0}^n a_m ¥phi_m(x) |^2 dx =0 (25.14a)
 ¥sum t^n ¥phi_n(x) ¥phi_n(y) ¥equiv K(x,y,t) = ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi(1-t^2)}} e^{-¥frac{(1+t^2)(x^2+y^2) -4txy}{4(1-t^2)}} , (25.15)
¥int_{-¥infty}^{+¥infty} K(x,y,t) dy = ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi(1-t^2)}} e^{-¥frac{1+t^2}{4(1-t^2)}x^2}    ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{-¥frac{1+t^2}{4(1-t^2)}u^2} du
=¥sqrt{¥frac{2}{1+t^2}} e^{-¥frac{1-t^2}{4(1+t^2)}x^2} , (25.15a)
(1+t^2)(x^2+y^2) - 4txy = const. , (25.15b)
 ¥lim_{t ¥to 1}  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} K(x,y,t)f(y)dy = f(x) , (25.15c)
 ¥lim_{t ¥to 1}¥sum_{n=0}^¥infty a_n t^n ¥phi_n(x) = f(x) , (25.15d)
¥lim_{t ¥to 1}¥sum_{n=0}^¥infty a_n^2 t^n =  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥left[ f(x) ¥right]^2 dx , (25.15e)
¥sum_{n=0}^¥infty a_n^2 =  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥left[ f(x) ¥right]^2 dx , (25.16)
 ¥int | f(x) - ¥sum_{m=0}^n a_m ¥phi_m(x) |^2 dx = ¥int | f(x)|^2 - ¥sum_{m=0}^n a_m^2 ¥to 0, ( n ¥to ¥infty) , (25.16a)
p.167
 f(x) ¥sim ¥sum_{m=0}^n a_m ¥phi_m(x)  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} f(y) ¥phi_m(y) dx , (25.16b)
 ¥phi(x) = f(x) ¥frac{e^{-¥frac{x^2}{4}}}{(2¥pi)^{¥frac{1}{4}}} , (25.17)
 ¥phi(x) ¥sim  ¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{1}{m!} ¥phi_0(x) H_m(x)  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥phi(y) H_m(y) dy  ,(25.18)
 ¥phi_0(x) = ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi}} e^{-¥frac{x^2}{2}}  , (25.18a)
「Myller-Lebedewの与えた条件」
¥phi(x) < C e^{-¥frac{kx^2}{4}} , (k>1) , (25.18b)
  ¥phi_0(x) H_m(x) = (-1)^m ¥frac{d^m}{dx^m} ¥phi_0(x) ¥equiv (-1)^m ¥phi_m(x), (25.19)
 c_m = ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} ¥phi(x) H_m(x) dx , (25.20)
c_0 = 1, c_1 = ¥mu_1^{'}, c_2 = ¥mu_2^{'} -1, c_3 = ¥mu_3^{'} - 3 ¥mu_1^{'} , c_4 = ¥mu_4^{'} - 6 ¥mu_2^{'} + 3, ¥cdots , (25.20a)
e^{¥sum ¥frac{¥lambda_s t^s}{s!}} = ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  e^{xt} ¥sum ¥frac{1}{m!} c_m H_m(x) ¥phi_0(x) dx , (25.20b)
¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{xt} (-1)^m ¥frac{d^m}{dx^m} ¥phi_0(x) dx = (+t)^m ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{xt} ¥phi_0(x) dx = t^m e^{¥frac{t^2}{2}} , (25.20c)
e^{¥sum ¥frac{¥lambda_s t^s}{s!}} = ¥sum ¥frac{1}{m!} c_m t^m e^{¥frac{t^2}{2}} , (25.21)
¥left.c_0 =1 ¥¥c_1= ¥lambda_1¥¥c_2 =  (¥lambda_2-1)+  ¥lambda_1^2 ¥¥c_3 =  ¥lambda_3 + 3( ¥lambda_2-1)  ¥lambda_1 +  ¥lambda_1^3 ¥¥c_4 =  ¥lambda_4 + 4 ¥lambda_3 ¥lambda_1 +3(  ¥lambda_2 -1)^2 +6 (¥lambda_2-1)¥lambda_1^2 + ¥lambda_1^4 ¥¥ ¥cdots ¥cdots ¥cdots  ¥right} ¥¥, (25.22)
c_0 = 1, c_1 = 0, c_2 = 0, c_3 = ¥lambda_3  , c_4 = ¥lambda_4, ¥cdots, (25.22a)*

¥lambda_1[x] = a ¥lambda_1[y] + b, ¥lambda_2[x]= a^s ¥lambda_2[y] ,( s>1), (25.22b)
¥lambda_1[x] = aM+b, ¥lambda_2[x] = a^2 ¥sigma^2, (¥lambda_1[y] = m, ¥lambda_2[y] = ¥sigma^2) , (25.22c)
aM +b = 0, a¥sigma=1 , (25.22d)
x = ¥frac{y-M}{¥sigma} , (25.22e)
¥lambda_s[x] = ¥frac{¥lambda_s[y]}{¥sigma^s} ,(25.22f)
¥phi(x) ¥sim ¥Phi_0(x) - ¥frac{¥lambda_3}{6}¥Phi_3(x) + ¥frac{¥lambda_4}{24}¥Phi_4(x) + ¥cdots , (25.22g)
10:34 | Impressed! | Voted(0) | Comment(0)