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確率論及統計論 >> Article details

2016/06/21

確率論及統計論第III章記述的統計学 18.Thieleの半不変数

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伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
第III章記述的統計学 18.Thieleの半不変数

#この資料は統計学を学ぶ為の公開資料をもとに著作権者の許諾を得て輪講を実施している記録です。ここに掲載している内容は学術目的での著作権者の許諾を得ることと、輪講参加者の共通な式の電子形式を確認するために掲示しているものです。営利を目的としたり商用の場での再利用を前提にしていません。お取り扱いにはご注意ください。

¥sum_{r=0}^¥infty ¥frac{¥mu_r^'}{r!} t^r = ¥overline{e^{rt}} = ¥int e^{xt}f(x) dx , (18.1)
tで展開して
¥log_e (¥int e^{xt} f(x) dx) = ¥sum_{s=1}^¥infty ¥frac{¥lambda_s}{s!}t^s , (18.2)
¥sum_{r=1}^¥infty ¥frac{¥mu_r^'}{(r-1)!} t^{r-1} = ¥left{ ¥sum_{s=1}^¥infty ¥frac{¥lambda_s}{(s-1)!} t^{s-1} ¥right} ¥left{  ¥sum_{r=0}^¥infty ¥frac{¥mu_p^'}{p!}t^p ¥right} , (18.2a)
tの各べきの係数を比較する
¥mu_1^' = ¥lambda_1
\mu_2^' = \lambda_1¥mu_1^' + ¥lambda_2
\mu_3^' = \lambda_1\mu_1^' + 2 \lambda_2¥mu_1^' + ¥lambda_3
\mu_4^' = \lambda_1\mu_1^' + 3 \lambda_2\mu_1^' + 3\lambda_3 ¥mu_1^' + ¥lambda_4
¥cdots , (18.3)
順次解いていくと
\lambda_1 = \mu_1^'(=M)
 \lambda_2 = ¥mu_2^'-\mu_1^'2 ( = ¥sigma^2)
 \lambda_3 = \mu_3^'-3\mu_2^'¥mu_1^' + 2¥mu_1^'3
 \lambda_4 = \mu_4^'-4\mu_3^'\mu_1^' - 3\mu_2^'2 + 12\mu_2^'\mu_1^'2 - 6\mu_1^'4
¥cdots , (18.4)
を得る。
対数関数の展開級数は
-\log ( 1- \sum_{r=1}^s \frac{(a_st)^r}{r!}) =\sum_{p=1}^\infty  \frac{(e^{a_s t}-1)^p}{p} , (18.4b)
で優越(majorate)。
¥frac{|¥lambda_s|}{s!} ¥le ¥sum_{p=1}^n ( ¥frac{1}{p} e^{pa_s t}<no>t^s<no keisuu>) ¥le ¥frac{s^sa_s^s}{s!} ,(18.4c)
あるいは
¥¥lambda_s| ¥le s^s ¥cdot ¥overline{|x|^2} , (18.4a) *
x^* = ax + b , (18.5)
¥overline{x^*} = a¥overline{x} + b , (18.5a)
¥mu_1^{*'} = a¥mu_1^' + b , (18.5b)
¥log_e ¥int e^{x^*i}  f^*(x^*) dx^* = ¥log_e ¥int e^{(ax+b)t} f(x) dx
= bt + ¥log_e ¥int e^x(at) f(x) dx,(18.5c)
¥sum_{s=1}^¥infty ¥frac{¥lambda_s^*}{s!} t^s = bt + ¥sum_{s=1}^¥infty ¥frac{¥lambda_s}{s!} (at)^s, (18.5d)
¥lambda_1^* = a¥lambda_1 + b
¥lambda_s^* = a^s ¥lambda_s, (s=2,3,¥cdots) , (18.6)
f(x) = ¥frac{1}{2¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{-ixt} ¥cdot e^{¥sum ¥lambda_s ¥frac{(at)^s}{s!} } dt , (18.7)
f'(x) = ¥frac{1}{2¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{it(¥lambda_1-x) - ¥lambda_2 ¥frac{t^2}{2}} dt = ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi ¥lambda_2}} e^{¥frac{-(¥lambda_1-x)^2}{2¥lambda_2}}  ,(18.7a)
¥Phi_0(x) = ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi}} e^{¥frac{-x^2}{2}} ,(18.8)
f'(x) = ¥frac{1}{¥sqrt{¥lambda_2}} ¥Phi_0 ( ¥frac{x-¥lambda_1}{¥sqrt{¥lambda_2}} ) , (18.8a)
f(x) = ¥frac{1}{¥sigma} ¥Phi_0 (¥frac{x-M}{¥sigma}) , (18.8b)
¥log_e ( ¥sum_{x=0}^{¥infty} e^{xt} f(x) ) = ¥sum_{s=1}^{¥infty} ¥frac{¥lambda_s}{s!} t^s , (18.9)
¥sum_{x=0}^{¥infty} e^{xt} f(x)  = ¥sum_{r=0}^{¥infty} ¥frac{¥mu_r^'}{r!}t^r , (18.10)
f(x) = ¥frac{1}{2 ¥pi p^x} ¥int_0^{2¥pi} e^{-ix¥theta} e^{¥sum ¥lambda_s  ¥frac{(¥log p + i ¥theta)^s}{s!} } d ¥theta , (18.10a)
¥lambda_1 = ¥lambda_2 = ¥cdots = ¥lambda , (18.10b)
f(x) = ¥frac{e^{-¥lambda}}{2 ¥pi p^x} ¥int_0^{2¥pi} e^{-ix¥theta} e^{ ¥lambda  p e^{i ¥theta}} d ¥theta, (18.10c)
e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} = e^{-\lambda} \sum_{y=0}^{\infty} \frac{1}{y!} (\lambda e^t)^y = \sum_{x=0}^\infty e^{xt} f(x) , (18.10d)
f(x) = ¥frac{e^{-¥lambda ¥lambda^x}}{x!} , (18.11)
¥frac{1}{2¥pi} ¥int_0^{-i¥pi} e^{tx¥theta}  e^{¥lambda e^{i¥theta}} d ¥theta = ¥frac{¥lambda^x}{x!} , (18.12)
\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{\lambda \cos \theta}  ¥cos \left[ \mu \sin \theta - x\theta\right] d \theta  , (18.12a)

ps.TeX ソース(参考)
上記の一部のTeX入力
 = ¥frac{1-x^{n_1+1}}{1-x} ¥cdot ¥frac{1-x^{n_2+1} }{1-x}  ¥cdots ¥frac{1-x^{n_¥gamma+1}}{1-x}
¥¥
¥log_e ¥int e^{x^*i}  f^*(x^*) dx^* = ¥log_e ¥int e^{(ax+b)t} f(x) dx
¥¥
= bt + ¥log_e ¥int e^x(at) f(x) dx
¥¥
¥sum_{s=1}^¥infty ¥frac{¥lambda_s^*}{s!} t^s = bt + ¥sum_{s=1}^¥infty ¥frac{¥lambda_s}{s!} (at)^s
¥¥
¥lambda_1^* = a¥lambda_1 + b
¥¥
¥lambda_s^* = a^s ¥lambda_s, (s=2,3,¥cdots)
¥¥
f(x) = ¥frac{1}{2¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{-ixt}e^{¥sum ¥lambda_s ¥frac{(at)^s}{s!} } dt
¥¥
f'(x) = ¥frac{1}{2¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} e^{it(¥lambda_1-x) - ¥lambda_2 ¥frac{t^2}{2}} dt = ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi ¥lambda_2}} e^{¥frac{-(¥lambda_1-x)^2}{2¥lambda_2}}
¥Phi_0(x) = ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi}} e^{¥frac{-x^2}{2}}
f'(x) = ¥frac{1}{¥sqrt{¥lambda_2}} ¥Phi_0 ( ¥frac{x-¥lambda_1}{¥sqrt{¥lambda_2}} )
f(x) = ¥frac{1}{¥sigma} ¥Phi_0 (¥frac{x-M}{¥sigma})
¥log_e ( ¥sum_{x=0}^{¥infty} e^{xt} f(x) ) = ¥sum_{s=1}^{¥infty} ¥frac{¥lambda_s}{s!} t^s
¥sum_{x=0}^{¥infty} e^{xt} f(x)  = ¥sum_{r=0}^{¥infty} ¥frac{¥mu_r^'}{r!}t^r
f(x) = ¥frac{1}{2 ¥pi p^x} ¥int_0^{2¥pi} e^{-ix¥theta} e^{¥sum ¥lambda_s  ¥frac{(¥log p + i ¥theta)^s}{s!} } d ¥theta
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