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確率論及統計論 >> Article details

2016/06/22

伏見康治「確率論及統計論」 第III章記述的統計学 26節Charlierの多項式

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伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
 第III章記述的統計学 26節Charlierの多項式

#この資料は統計学を学ぶ為の公開資料をもとに著作権者の許諾を得て輪講を実施している記録です。ここに掲載している内容は学術目的での著作権者の許諾を得ることと、輪講参加者の共通な式の電子形式を確認するために掲示しているものです。営利を目的としたり商用の場での再利用を前提にしていません。お取り扱いにはご注意ください。

p171
Poissonの分布
¥psi_0 (x) = ¥frac{a^x}{x!} e^{-a}, (x = 0,1,2,¥cdots,a > 0) , (26.1)
¥sum_{x=0}^¥infty ¥psi_0 (x) =e^{-a} ¥sum_{x=0}^¥infty ¥frac{a^x}{x!} =  e^{-a}¥cdot e^a=1  , (26.2)
¥psi_m (x) = ¥psi_{m-1} (x-1) - ¥psi_{m-1} (x) , (m=1,2,¥cdots), (26.3)
¥frac{d}{da}¥psi_0 (x) = ¥psi_{0} (x-1) - ¥psi_{0} (x) = ¥psi_1(x) , (26.4)
(26.3)を微分した式
¥frac{d}{da}¥psi_m (x) = ¥frac{d}{da}¥psi_{m-1} (x-1) - ¥frac{d}{da}¥psi_{m-1} (x)  , (26.4a)

p.172
を組み合わせて、一般に
¥psi_m (x) =¥frac{d^m}{da^m} ¥psi_{0} (x) , (26.5)
¥psi_m (x) =p_m(x) ¥psi_{0} (x) , (26.6)
このPmがHermite多項式に相当する。pmに対する循環式は
p_m(x) = -p_{m-1} (x) + ¥frac{x}{a} p_{m-1}(x-1) , (26.7)
p_m(0) = -p_{m-1}(0) = (-1)^m , (26.8)
p_0(x) = 1, p_1(x) = ¥frac{x}{a} -1, p_2(x) = ¥frac{x(x-1)}{a^2} - 2 ¥frac{x}{a} + 1, ¥cdots, (26.9)
p_m(x) = \sum_{n=0}^m (-1)^{m-n} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x \\ n \end{pmatrix} n! \cdot a^{-n}
=¥frac{m!}{a^m} ¥sum_{n=0}^m  ¥begin{pmatrix} x ¥¥ m-n ¥end{pmatrix} ¥frac{-n^n}{n!}  , (26.10)
(-1)^m p_m(x) = (-1)^x p_x(m) , (26.11)

p.173
¥sum_{x=0}^¥infty ¥psi_0(x) p_m(x) p_n(x) = ¥left{ ¥begin{matrix} 0,  & (n ¥ne m) ¥¥ m!a^{-m}, &(n=m) ¥end{matrix} ¥right. (26.12)
¥sum_{x=0}^¥infty p_m(x) ¥psi_n(x) = p_m(0) ¥psi_n(0) + ¥sum_{x=0}^¥infty p_m(x) ¥left[ ¥psi_{n-1} (x-1) - ¥psi_{n-1}(x) ¥right]
 = p_m(0) ¥psi_n(0) +  p_m(0) ¥psi_{n-1}(0) +¥sum_{x=0}^¥infty ¥psi_{n-1} (x)  ¥Delta p_m(x), (26.12a)
「(26.8)により始めの二項は打ち消すから」
 ¥sum_{x=0}^¥infty p_m(x) ¥psi_n(x) = ¥sum_{x=0}^¥infty ¥psi_{n-1} (x)  ¥Delta p_m(x) , (26.12b)
ちょうどn=mの場合には
 ¥sum_{x=0}^¥infty p_m(x) ¥psi_m(x) = ¥sum_{x=0}^¥infty ¥psi_{0} (x)  ¥Delta^m p_m(x) = ¥frac{m!}{a^m} ¥sum_{m=0}^¥infty ¥psi_0(x) = ¥frac{m!}{a^m}, (26.12c)
「pm(x)に対しても母函数を考えることができる。」
 ¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{t^m}{m!} p_m(x) = ¥sum_{m=0}^¥infty ¥sum_{n=0}^m ¥frac{(-1)^{m-n}}{m!}  ¥begin{pmatrix} m ¥¥ n ¥end{pmatrix}  ¥begin{pmatrix}  x ¥¥ n ¥end{pmatrix}   n! a^{-n}  t^m 
 =  ¥sum_{n=0}^m ¥frac{(-1)^{n}}{a^n}  ¥begin{pmatrix} x ¥¥ n ¥end{pmatrix}  n!  ¥sum_{m=n}^¥infty ¥frac{(-t)^{m}}{m!}  ¥begin{pmatrix} m ¥¥ n ¥end{pmatrix}   
 =  ¥sum_{n=0}^m ¥frac{(-1)^{n}}{a^n}  ¥begin{pmatrix} x ¥¥ n ¥end{pmatrix}  (-t)^n e^{-t} = (1+¥frac{t}{a} )^x e^{-t}      , (26.12d)

p.174
(1+¥frac{t}{a})^x e^{-t} = ¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{t^m}{m!} p_m(x) ¥equiv G(x,t) , (26.13)
 ¥sum_{x=0}^¥infty ¥psi_0 (x) G(x,u) G(x,v) = e^{¥frac{uv}{a}} , (26.14)
 f(x) = ¥sum c_m ¥psi_m(x), (26.15)
「係数cmは直交関係を使って」
 c_m = ¥frac{a^m}{m!}   ¥sum_{x=0}^¥infty f(x) p_m(x)  , (26.16)
 ¥mu_r =   ¥sum_{x=0}^¥infty x^r f(x)  , (26.16a)
 ¥lim_{x ¥to ¥infty} 2^x x^k f(x) = 0, (k = 0,1,2,¥cdots) , (26.17)

p.175
 K(x,y) =  ¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{n^m}{m!} p_m(x)  p_m(y) , (26.18)
「対称性(26.11)と直交性とを使って」
  K(x,y) =  (-1) ^{x+y} \sum_{m=0}^\infty \frac{a^m}{m!} p_m(x)  p_m(y) = (-1)^{x+y} x! a^{-x} e^a \cdot \delta_{xy}  = \frac{\delta_{xy}}{\psi_0(x)} , (26.19)
¥sum_{y=0}^¥infty K(x,y) f(y) = ¥frac{f(x)}{¥psi_0(x)}   , (26.19a)
¥sum_{m=0}^¥infty ¥frac{a^m}{m!} p_m(x) ¥sum_{y=0}^¥infty p_m(y) f(y) = ¥sum_{m=0}^¥infty c_m p_m(x) , (26.19b)
¥exp  ¥sum_{s=1}^¥infty ¥frac{¥lambda_s t^s}{s!} ¥equiv   ¥sum_{x=0}^¥infty e^{xt} f(x) =  ¥sum_{m=0}^¥infty c_m¥sum_{x=0}^¥infty e^{xt} ¥psi_m(x) =  ¥sum_{m=0}^¥infty c_m (e^t -1) ^m ¥cdot e^{a(e^t -1)}, ( 26.20)

p.176
¥sum_{x=0}^¥infty e^{xt} ¥psi_0(x) = ¥sum ¥frac{(e^ta)^x}{x!} e^{-a} = e^{a(e^t -1)}  , (26.21)
(26.20)の両辺の対数をとりr=et-1、従ってt = log(1+r)のべきに展開して係数を比べれば目的を達する。結果ははなはだ複雑である。ただしパラメタaの値を適当に選んでe1=0とすることができる。それにはa=λ1とすればよい。すると、
c_0 = 1, a = ¥lambda_1, c_1 = 0
c_2 = ¥frac{(¥lambda_2 - ¥lambda_1)}{2}
c_3 = ¥frac{(2¥lambda_1 - 3 ¥lambda_2 + ¥lambda_3)}{6}
c_4 = ¥frac{(-6¥lambda_1 + 11¥lambda_2 - 6¥lambda_3 +  ¥lambda_4 + 3 ( ¥lambda_2 - ¥lambda_1)^2)}{24}

¥cdots , (26.22)
¥sum_{m=0}^k ¥begin{pmatrix} k ¥¥ m ¥end{pmatrix} ¥psi_m(x)  = (1+¥frac{d}{da})^k ¥psi_0(x) = ¥psi_0 (x-k) , (26.22a)
\sum_{m=0}^k \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} p_m(x)  = \frac{\psi_0(x-k)}{\psi_0(x)} = \frac{1}{a^{k^2}}\cdot x (x-1) \cdots (x-k+1)  , (26.23)
¥overline{x(x-1 ¥cdots (x-k+1)} = a^k ¥sum_{m=0}^k ¥begin{pmatrix} k ¥¥ m ¥end{pmatrix} ¥sum_{x=0}^¥infty f(x) p_m(x) = k! ¥sum_{m=0}^k ¥frac{a^{k-m}}{(k-m)!} c_m , (26.24)
¥overline{x} = a + e_1
¥overline{x(x-1)} = 2e_2 + 2ae_1 + a^2
¥overline{x(x-1)(x-2)}= 6e_3 + 6 ae_2 + 3 a^2e_1 + a^3

¥cdots (26.24a)
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