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2016/06/12

伏見康治「確率論及統計論」輪講 第I章数学的補助手段3節漸近展開

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伏見康治「確率論及統計論」輪講 

#で始まる行は輪講で付け加えた行

第I章 数学的補助手段
3節 漸近展開

n! = \int_0^¥infty x^ne^{-x} dx , (3.1)
n! = n^{n+1} e^{-n}\int_0^\infty e^{-n(t-1-¥log t)} dx , (3.2)

t-1 - ¥log t = ¥frac{(t-1)^2}{2} + O(t-1)^3, (3.3)

OはLandauの記号

\frac{O(\xi)}{\xi} < const.,  ( \xi -> 0 or \infty), (3.3a)

展開(3.3)は|t-1| = 1の近くでは明らかにだめになるから、それを1-ε<t<1+ε(0<ε<1/2、例えば)の範囲で使って、残りの部分の積分は甚だ小さいことを示す。
n ¥epsilon^2は大きくn \epsilon^3は小さくなるように \epsilon= n^k, (1/2 > k > 1/3)と置く。
例えば1/2と1/3の調和平均をとってk=2/5とする。

e^{-n(t-1-\log t)} = e^{-1(t-1)^2/2} \cdot (1+O(n^{-1/5})), (3.3b)
\int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} e^{-n(t-1-\log t)} dt = ( 1 + O(n^{-1/5} )) \cdot \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} e^{-nu^2/2} du}
  = ( 1 + O(n^{-1/5} )) \cdot \left{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-nu^2/2} du} + O(e^{-n¥epsilon^2/2} ) \right}
= ¥sqrt{¥frac{2 ¥pi }{n} ¥cdot ( 1+ O(n^{-2/5})) , (3.3c)

Stirlingの漸近公式

n! = \sqrt{2 \pi} \cdot n^{n+1/2} e^{-n} ( 1 +  O(n^{-1/5})), (3.4)
n! = \sqrt{2 \pi} \cdot n^{n+1/2} e^{-n} ( 1 +  \frac{1}{12n} +  \frac{1}{288n^2} -  \frac{1}{51840n^3} + ¥cdots ),(3.5)
p.24
「漸近の意味は一つのnの値に対して近似式を求めることではなくて、nが大きくなってゆく時の趨勢を与えるのが本質である。」

「1) n=10に対しては      n! = 3628800
 \sqrt{2 \pi} \cdot n^{n+1/2} e^{-n} = 3598695.618
 」
実際にRubyでプログラムを書いてみると
(3.5)式の第三項までで、3628809.704
第四項までだと、   3628800.054
有効数字が7桁程度になっている。小数点以下を四捨五入すれば整数計算と同じになっている。詳細はこちら


\log n!= ( n + \frac{1}{2}) \log n - n + \frac{1}{2} log 2 \pi + O( \frac{1}{n})  
# log nlのlはどこに現れる? 汚れ?ちゃう「 ! 」だ!
= ¥int_0^n ¥log x ¥cdot dx + ¥frac{1}{2} ¥log n + ¥frac{1}{2} ¥log 2 ¥pi + O(¥frac{1}{n}), (3.5a)

\log ( n + m ) ! ( n - m ) ! = 2 \int_0^n \log x \cdot dx + \inf_0^m ¥log \frac{n+x}{n-x} dx
                + ¥frac{1}{2}¥log(n^2 - m^2) +¥log 2 ¥pi + O(¥frac{1}{n}), (3.5b)

log \left[  \begin{pmatrix} 2 n \\  n-m \end{pmatrix} \frac{1}{2^{2n}} ¥right] = - \int_0^m \log \frac{n+x}{n-x} dx - \frac{1}{2} \log ( 1 - \frac{m^2}{n^2} )
                      -¥frac{1}{2} ¥log n ¥pi + O(¥frac{1}{n}), (3.5c)
 \begin{pmatrix} 2 n \\  n-m \end{pmatrix} \frac{1}{2^{2n}}= \frac{e^{-\frac{m^2}{n}}}{\log n \pi}\cdot ( 1 + O(\frac{1}{n})), (3.6)
 \begin{pmatrix} 2 n \\  n-m \end{pmatrix} = \frac{1}{2 ¥pi i} ¥int ¥frac{dt}{t^{n-m+1}} ( 1 + t)^{2n}, (3.7)
¥frac{(1+t)^{2n}}{t^n} = e^{2n ¥log(1+t) -n ¥log t} , (3.7a)
2 \log ( 1 + t) - \log t \approx 2 \log 2 - \frac{1}{4} y^2, (t = e^{iy}), (3.7b)
 \begin{pmatrix} 2 n \\  n-m \end{pmatrix} \approx 2^{2n}\frac{1}{2 \pi } \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-n\frac{1}{2}y^2 - i my}  dy = 2^{2n}\cdot \frac{e^{-m^2/n}}{\sqrt{n \pi}},(3.7c)
\log n ! = \sum_{\gamma = 1}^{n} \log n = n log n + n \sum_{\gamma = 1}^{n} ¥frac{1}{n} ¥log ¥frac{¥gamma}{n}, (3.7d)
 \sum_{\gamma = 1}^{n} \frac{1}{n} \log \frac{\gamma}{n} ¥approx ¥int_0^1 ¥log x ¥cdot dx = -1, (3.8)
¥log n! = n ¥log n - n + o(n), (3.8a)
\delta n =  \sum_{\gamma = 1}^{n} ( \frac{1}{n} \log \frac{\gamma}{n} - \int_{¥frac{¥gamma-1}{n}}^{¥frac{¥gamma}{n}} \log x \cdot dx ), (3.8b)
\log x = \log \frac{\gamma}{n} + (\frac{\gamma}{n})\cdot (x-\frac{\gamma}{n}) - ¥frac{1}{2} (\frac{\gamma}{n})^2 \cdot (x-\frac{\gamma}{n})^2 + ¥cdots, (3.8c)
n \delta n =  \frac{1}{2}\sum_{\gamma = 1}^{n} \frac{1}{\gamma}+ \frac{1}{6}\sum_{\gamma = 1}^{n} \frac{1}{\gamma^2}  + \frac{1}{12}\sum_{\gamma = 1}^{n} \frac{1}{\gamma^3}, (3.8d)
¥lim_{n ¥to ¥infty}(¥sum_{¥gamma=1}^n ¥frac{1}{¥gamma} - ¥log n) = C( Eulerの常数) , (3.8e)
¥log n! = n ¥log n - n + ¥frac{1}{2} ¥log n + O(1), (3.8f)
u(n + r) + c_{r-1}(n) u(n+r-1) + ¥cdots + c_0(n)u(n) = 0, (3.9)
¥lim_{n ¥to ¥infty} c_i(n) = ¥gamma_i, (i = 1,2,¥cdots,r), (3.10)
u(n+r) + ¥gamma_{r-1} u(n+r-1) + ¥cdots + ¥gamma_0 u(n) = 0, (3.11)
u(n) = a^nと置いて代入
a^n + ¥gamma_{r-1}a^{n-1} + ¥cdots + ¥gamma_0 = 0, (3.12)
u(a) = \sum_{i=1}^n \alpha_i u_i^n,(3.13)
\lim_{n \to \infty} \frac{u(n+1)}{u(n)} = a_\mu, (3.14)
u(n) = a_i^n, na_i^n, n^2a_i^n, ¥cdots, n^{r_i}a_i^n, (3.15)
uu(n) = r_1(n) + r_2(n) + ¥cdots + r_r(n),
u(n+1) = a_1r_1(n) + a_2 r_2(n) + ¥cdots + a_r r_r(n)

¥cdots ¥cdots ¥cdots

u(n+r-1) = a_1^{r-1} r_1(n) + a_2^{r-1}r_2(n) + ¥cdots + a_r^{r-1} r_r(n), (3.16)

f(a) = (a-a_i)(a^{n-1} + \gamma_{i_{r-2}}a^{r-2} + \cdots + \gamma_i_0), (3.16a)
f^'(a_i) \cdot r_i(n) = u(n+r-1) + \sum_{l=0}^{r-2}} \gamma_{il} u(n+l), (3.16b)
f^'(a_i) \cdot r_i(n+1) = \sum_{l=0}^{r-1}} c_i(n)u(n+l) + \sum_{l=1}^{r-1}} \gamma_{il-1} u(n+l)
            = a_i \sum_{l=0}^{r-1}} ¥gamma_{il}(n)u(n+l) + \sum_{l=0}^{r-1}} (\gamma_l -c_l(n)) u(n+l)

f^'(a_i)  v_i(n+1) = a_i ¥cdot f^'(a_i) v_i(n) + \sum_{l=0}^{r-1}}(¥gamma_l - c_i(n)) u(n+l) \sum_{k} a_k^l v_k(n), (3.17)
v_i(n+ 1) ¥approx a_i v_i(n) , (3.18)
¥limsup_{ n ¥to ¥infty}  ¥left[ | u(n)| ¥right]^{¥frac{1}{n}} = | a_¥mu| , (3.19)
c_i(n) ¥sim ¥gamma_i ¥cdot n^{k_i}, (3.19a)
¥limsup_{n ¥to ¥infty} ¥frac{|u(n)|^{¥frac{1}{n}}}{¥alpha_¥mu(n)}=1, (3.19b)
a^r + a_{r-1}(n) a^{r-1} + ¥cdots + a_v(n) = 0, (3.19c)
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