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2016/04/01

第I章 数学的補助手段 2 母函数

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伏見康治「確率論及統計論」輪講

第I章 数学的補助手段
 節2 母函数


n個の異なるものからm個を選び出す仕方の数
{}_n\mathrm{C}_m  = \begin{pmatrix}  n \\  m \end{pmatrix}         (2.0)
はよく知られているように、二項係数と呼ばれて二項定理の係数として現れる。
」p.12

#式(2.0)は、式(1.6)。


(1+x)^n = \sum^{n}_{m=0}\begin{pmatrix}  n \\  m \end{pmatrix} x^m    (2.1)



(1+x_1)(1+x_2) ¥cdots (1+x_n)           (2.1a)
を考えて、後で、
x_1 = x_2 = ¥cdots = x_n = x                   (2.1b)
と置く。


「この定理は、元来Briggsの発見したものだが、Newtonの公式と呼ばれる」p.12
 

(x_1 + x_2 + \cdots + x_¥gamma)^n  

 = \sum_{n_1+n_2+\cdots+n_\gamma =n}\frac{n! } {n_1! n_2! \cdots n_{\gamma}! }  x^{n_1}_1 x^{n2}_2 \cdots x^{n_\gamma}_{\gamma}  (2.2)



 \begin{pmatrix}  n \\  n_1 \end{pmatrix}   \begin{pmatrix}  n-n_1 \\  n_2 \end{pmatrix} ¥cdots  \begin{pmatrix}  n-n_1- ¥cdots - n_{¥gamma -1} \\  m \end{pmatrix}    

= \frac{n! } {n_1! (n-n_1)! }   \frac{(n-n_1)! } {n_2! ((n-n_1)-n_2)! } \cdots  \frac{(n-n_1- \cdots - n_{\gamma-1})! } {n_\gamma ! (n-n_1 - \cdots - n_{\gamma -1}-n_\gamma)! }    

= \frac{n! }{(n_1 ! n_2 | ¥cdots n_{\gamma -1}!(n-n_1-n_2 - ¥cdots -n_{¥gamma-1})! }                   (2.2a)



(1+x)^{n+1} = (1+x)^n ¥cdot (1+x)                                (2.2b)


\sum \begin{pmatrix}  n+1 \\  m \end{pmatrix} x^m = \sum \begin{pmatrix}  n \\  m \end{pmatrix} x^m \sum x^l = \sum [ \begin{pmatrix}  n \\  m \end{pmatrix}  +  \begin{pmatrix}  n \\  m-1 \end{pmatrix}] x^m (2.2c)

上記左辺の展開をここに書く                      (2.2d)


 \begin{pmatrix}  n+1 \\  m \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}  n \\  m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  n \\  m-1 \end{pmatrix}                (2.2e)=(1.7)


 \sum^{n}_{n^l=m}\begin{pmatrix}  n^l \\  m \end{pmatrix} = ¥begin{pmatrix}  n+1 \\  m+1 \end{pmatrix}                        (2.3)


\sum^{n}_{l=0}\begin{pmatrix}  n+l \\  l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  n+m+1 \\  m \end{pmatrix}               (2.4)



(2.1)でx=1, x=-1と置けば
\sum^{n}_{m=0}\begin{pmatrix}  n \\ m \end{pmatrix} = 2^n             (2.5)
\sum^{n}_{m=0}(-1)^m\begin{pmatrix}  n \\  m \end{pmatrix} = 0             (2.6)


(1+x)^p(1+x)^q = (1+x)^{p+q} (2.6a)
 \sum_{l=0}\begin{pmatrix}  p \\  m-l  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  q \\  l  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  p+q \\  m \end{pmatrix}     (2.7)


\begin{pmatrix}  n \\  m \end{pmatrix} = \frac{n(n-1)\cdots (n-m+1)} {1 \cdot 2\cdots m }   (2.8)

\begin{pmatrix}  -n \\  1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix}  n \\  1 \end{pmatrix}    (2.8a)
\begin{pmatrix}  -n \\  2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix}  n +1\\  2 \end{pmatrix}    (2.8b)
\begin{pmatrix}  -n \\  3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix}  n+2 \\  3 \end{pmatrix}    (2.8a)

(1+x)^{-n} = \sum^{\infty}_{m=0}(-1)^m \begin{pmatrix}  n+m-1 \\  m \end{pmatrix} x^m    ( n>0) (2.9)
(1-x)^{m}  (1-x)^{-n-1} = (1-x)^{m-n-1}(2.9a)
 \sum_{l=0}(-1)^l \begin{pmatrix}  m \\  k-l \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  n+l \\  n \end{pmatrix}   =  \begin{pmatrix}  m-n-1 \\  k \end{pmatrix}    (2.10)
(1-x)^{-m-l}  (1-x)^{-q-l} (2.10a)
 \sum_{l=0} \begin{pmatrix}  p-l \\  m \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  q+l \\  q \end{pmatrix}   =  \begin{pmatrix}  p+q+1 \\  p-m \end{pmatrix}    (2.11)

 \sum_{l=0}(-1)^l \begin{pmatrix}  m \\  l \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  l \\  n \end{pmatrix}   =  0, ( m \neq n)  
                                              = (-1)^n ( m = n)  (2.12)

 \sum_{l=0}^n(-1)^l (x-l)^m   \begin{pmatrix}  n \\  l \end{pmatrix}   =  0,  ( m < n)  
                                              =n!,  ( m = n)  (2.13)

F_v(x,z) = (1+x^{¥alpha_1} z)(1 + x^{¥alpha_2} z)¥cdots(1+x{¥alpha_{¥gamma}}) (3.14)

F_v(x,z) =1+A_1z + A_2 z^2 +\cdots
A_{¥mu} = ¥alpha_{¥mu 0} + ¥alpha_{¥mu 1} x + ¥alpha_{¥mu 2} x^2 + ¥cdots (3.15)
G_{\gamma}(x,z)  = \frac{1 }{(1-x^{\alpha_1} z )(1-x^{\alpha_2} z) \cdots (1-x^{\alpha_{\gamma}} z)}    (2.16)


z=1と置けば、Fv(x,1)のx^{¥lambda}の係数はλを¥alpha_1, ¥alpha_2,¥cdots,¥alpha_{¥gamma}のいくつかの話として書き表す仕方の数でありGv(x,1)のの係数は各数の繰り返しを許す場合の数を与える。
¥alpha_1=1, ¥alpha_2=2,¥alpha_3=3,¥cdotsで、その個数を無限とした場合は特に興味がある。この時我々は
F(x,z) = ( 1+xz)(1+x^2z)(1+x^3z)¥cdots, (2.17)
G(x,z) = 1/(1-xz))1-x^2z)(1-x^3z)¥cdots, (2.18)
なる母函数を得る。これらの函数をzの冪(べき)に展開するためにEulerは函数関係
F(x,z) = 1 +xz)F(x,xz), (2.18a)
F(x,z) = 1 + \frac{x }{(1-x)}z + \frac{x^3 }{(1-x)(1-x^2)}z^2 + \frac{x^6 }{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}z^3)+\cdots,(2.19)
G(x,z) = 1 + \frac{x }{(1-x)}z + \frac{x^2 }{(1-x)(1-x^2)}z^2 + \frac{x^3}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}z^3)+\cdots,(2.20)
 \sum^{\infty}_{\lambda=0}p(\lambda)x^{\lambda} = \frac{x^3}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots}, (p(0) = 1) , (2.21)
 \sum^{\infty}_{\lambda=0}p_{¥mu}(\lambda)x^{\lambda} = \frac{x^3}{(1-x)(1-x^2)¥cdots(1-x^{¥mu})}, (p(0) = 1) , (2.22)


\sum^{\infty}_{\mu=0}\sum^{\infty}_{\lambda=0}p_{\mu}(\lambda)x^{\lambda+¥mu} = \frac{x^3}{(1-xz)(1-x^2z)(1-x^3z)¥cdots}=G(x,z), (2.22a)
 \sum^{\infty}_{\lambda=0}p_{\mu}(\lambda)x^{\lambda}z^{¥mu} = \frac{1}{(1-z)(1-xz)(1-x^2z)¥cdots}, (2.23)
 \sum^{\infty}_{\mu_1\lambda=0}p_{\mu}(\lambda)x^{\lambda+ \begin{pmatrix}  \mu-1 \\  2 \end{pmatrix} }z^{\mu} =(1+z)(1+xz)(1+x^2z)\cdots, (2.24)
 \sum^{\infty}_{\mu_0\lambda=0}p_{\mu}^*(\lambda)x^{\lambda}z^{\mu} = \frac{1}{(1-xz)(1-x^2z)\cdots}=G(x,z), (2.25)
P_{¥mu}^*(¥lambda)=p_{¥lambda}(¥lambda - ¥mu), (2.26)
(1-x^{¥mu})\sum_{\lambda}p_{\mu}(\lambda)x^{\lambda}=\sum_{\lambda}p_{\mu-1}(\lambda)x^{\lambda}, (2.26a)
p_{¥mu}(¥lambda - ¥mu) = p_{¥mu}(¥lambda)- p_{¥mu-1}(¥lambda), (2.27)
p_{\mu}^*(\lambda ) = p_{\mu}^*(\lambda-¥mu) + p_{\mu-1}^*(\lambda-1), (2.28)
p_{\mu}^*(\lambda)=\sum_{\gamma=1}^{¥mu}p_{\gamma}^*(\lambda- ¥mu), (2.29)


p18「母函数の方法の利点はこれらの関係を一々頭を使わずに機械的研鑽で求め得るというところにある」

¥lambda = ¥lambda_1 + ¥lambda_2 + ¥cdots + ¥lambda_{¥mu} , ( ¥lambda_{¥mu}¥ge 1) , (2.29a)
\lambda ^¥mu = (\lambda_1-1) + (\lambda_2-1) + \cdots + (\lambda_{\mu} -1), ( \lambda_{\mu}-1\ge 0) , (2.29b)

p.19 「分割数(partitio numerorum)は原子核エネルギー状態の数を推定するの援用されたことがある。これについては後節(何節?)において詳しく論ずる」


p_{\mu}^*(\lambda ) = p(\lambda-\mu) , (¥mu ¥ge (¥lambda+1)/2), (2.30)
p_{\mu}(\lambda ) = p(\lambda) , (\mu \ge (\lambda+1)), (2.30a)
k_1 + k_2 + \cdots + k_{¥gamma} = m                  ( 0 ¥le k_{¥mu} ¥le n_{\mu})      (2.30b)

#(2.30b)は(1.15)の引用のはずが、条件式が異なる形式になっている。
#同じかどうか要確認

(1+x+x^2+¥cdots+x^{n_1})(1+x+x^2+¥cdots+x^{n_2})¥cdots(1+x+x^2+¥cdots+x^{n_¥gamma})
 = \frac{1-x^{n_1+1}}{1-x} ¥cdot \frac{1-x^{n_2+1} }{1-x}  ¥cdots \frac{1-x^{n_¥gamma+1}}{1-x}, (2.31)
#備考に(1.16a)の変数名を変えた式の説明。数λの分割の数p(λ)の不定式の解の数
\lambda_1 + 2\lambda_2 + 3\lambda_3 + \cdots  = \lambda, (¥lambda_{\gamma} = 0,1,2,\cdots)             (2.31a)


a_0=1, a_1=2, a_n=a_{n-1} + a_{n-2}, (2.32)
¥chi(x) = a_0+a_1 x + a_2 x^2 + ¥cdots  , (2.33)

(1+x)\chi(x) = a_0+(a_0 + a_1 )x + (a_1 +a_2) x^2 + \cdots
= 1 + a_2 x + a_3 x^2 + ¥cdots
= 1 + ( ¥chi(x) -1 - 2x)/x, (2.33a)
 ¥chi(x) = \frac{1+x}{1-x-x^2} , (2.34)

 \chi(x) = \frac{1-¥sqr{5}}{¥sqr{5}(2x+1+¥sqr{5})} - \frac{1+¥sqr{5}}{¥sqr{5}(2x+1-¥sqr{5})}, (2.35)

 \chi(x) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\sqr{5}+1)^{n+2}+ (-1)^{n+1}(¥sqr{5} -1)^{n+2}}{2^{n+2} \sqr{5}} ¥cdot x^n, (2.35a)

a_n = \frac{(\sqr{5}+1)^{n+2}+ (-1)^{n+1}(\sqr{5} -1)^{n+2}}{2^{n+2} \sqr{5}} , (2.36)

 \chi(x) = a_0 + a_1x + a_2 x^2 + ¥cdots, (2.36a)


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