カウンタ

COUNTER FROM 2016031871842

日誌

確率論及統計論 >> Article details

2016/06/21

確率論及統計論第III章記述的統計学20節Gaussの分布則とPoissonの分布則

Tweet ThisSend to Facebook | by kaizen
伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
第III章記述的統計学 20節Gaussの分布則とPoissonの分布則

Gaussの正規分布密度は
f(x) = ¥frac{1}{¥sigma} ¥Phi_0 (¥frac{x-M}{¥sigma}), ¥Phi_0(x) ¥equiv ¥frac{1}{¥sqrt{2¥pi}} e^{¥frac{-x^2}{2}}, (20.1)¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  x ¥Phi_0 ( x) = 0, ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} x^2 ¥Psi_0 (x) dx =1 , (20.1a)
¥overline{x^{2k}} =  ¥int_{-¥infty}^{+¥infty} x^{2k} ¥Phi_0(x) dx = 1 ¥times 3 ¥times 5 ¥times ¥cdots (2k-1) , (20.2)
¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  e^{itx} ¥Phi_0(x) dx = e^{¥frac{-t^2}{2}} , (20.3)
¥overline{e^{itx}} = e^{iMt - ¥frac{¥sigma^2t^2}{2}} , (20.3a)
e^{iM_1t - ¥frac{¥sigma_1^2t^2}{2}} ¥cdot e^{iM_2t - ¥frac{¥sigma_2^2t^2}{2}} = e^{i(M_1 + M_2)t - ¥frac{(¥sigma_1^2 + ¥sigma_2^2)t^2}{2}} , (20.4)
¥frac{1}{¥sigma_1} ¥Phi_0 (¥frac{x-M_1}{¥sigma_1}) * ¥frac{1}{¥sigma_2} ¥Phi_0 (¥frac{x-M_2}{¥sigma_2}) = ¥frac{1}{¥sigma} ¥Phi_0 (¥frac{x-M}{¥sigma})
( M=M_1 + M_2, ¥sigma^2 = ¥sigma_1^2 + ¥sigma_2^2) , (20.5)
¥psi_0(x,a) = ¥frac{a^x}{x!} e^{-a} , (20.6)
M = ¥overline{x} = a, ¥overline{x^2}  - ¥overline{x}^2 = a =  ¥overline{x}, ¥sigma = ¥sqrt{a}  , (20.7)
¥overline{x(x-1) ¥cdots(x-k+1)} = a^k , (20.8)
¥sum_{x=0}^¥infty ¥tau^x ¥cdot ¥psi_0(x,a) = e^{a(¥tau-1)}  , (20.9)
e^{a_1(¥tau-1)} ¥cdot e^{a_2(¥tau-1)} =  e^{(a_1+a_2)(¥tau-1)}  , (20.10)
(¥sqrt{a})^2 = (¥sqrt{a_1})^2+ (¥sqrt{a_2})^2  ,(20.10a)
¥sum_{x_1=0}^¥infty ¥psi_0(x_1,a_1) ¥psi_0(x-x_1, a_2) = ¥psi_0(x, a_1 + a_2) , (20.11)
f(x) = ¥frac{1}{¥pi} ¥frac{1}{1+x^2} , (-¥infty<x<¥infty) , (20.12)
¥frac{1}{¥pi} ¥int_{-¥infty}^{+¥infty}  ¥frac{e^{itx}}{1+x^2} dx = e^{-|t|} , (20.13)
¥chi(t) = ¥sum_{r=0}^¥infty  ¥frac{¥mu_r^'}{r!} (it)^r , (20.14)
¥gamma(x,¥alpha) = ¥frac{e^{-x} ¥cdot x^{¥alpha-1}}{¥Gamma(¥alpha)} , ( 0 < x < ¥infty , 0 < ¥alpha) , (20.15)
¥int_{0}^{¥infty}   e^{-tx} ¥gamma(x,¥alpha) dx = (1+t)^{-¥alpha} , (20.16)
¥gamma(x,¥alpha) * ¥gamma(x,¥beta) = ¥gamma(x,¥alpha+¥beta) , (20.17)
能率
¥overline{x} = ¥alpha, ¥overline{x^2} = ¥alpha(¥alpha+1), ¥overline{x^m} = ¥alpha(¥alpha+1)¥cdots(¥alpha+m-1), (20.18)
半不変数
¥lambda_s = ¥alpha ¥cdot (s-1)! , (20.19)
分散率
¥sigma^2 = ¥alpha = ¥overline{x} , (20.19a)
特性函数
¥chi(t_1, t_2, ¥cdots, t_n) = e^{t¥sum ¥mu_r^' t_r - ¥frac{¥sum_r ¥mu_{sr}t_r t_s }{2}} , (20.20)
Q = ¥sum ¥mu_{rs}t_r t_s  , (20.21)
(20.20)に相当する分布密度はFourier逆変換で求まる。
f(x_1, ¥cdots, x_n) = ¥frac{1}{(2¥pi)^{¥frac{n}{2}}¥sqrt{¥Delta}}  e^{¥frac{-q(x_1, ¥cdots , x_n)}{2}} , (20.22)
q(x_1, ¥cdots, x_n) = ¥sum ¥frac{¥Delta_rs}{¥Delta} (x_r -¥overline{x_r})(x_s - ¥overline{x_s}), (20.23)
¥xi_r = ¥sum_s ¥mu_{rs} ¥eta_s , (20.24)
¥eta_s = ¥sum_r ¥frac{¥Delta_{sr}}{¥Delta} ¥xi_r , (20.24a)*
 ¥frac{1}{(2¥pi)^{¥frac{n}{2}}¥sqrt{¥Delta}} ¥int ¥cdots ¥int  e^{i¥sum t_r x_r - ¥frac{q}{2}} dx_1 ¥cdots dx_n , (20.24b)
 i ¥sum t_r x_r - ¥frac{1}{2} ¥sum ¥frac{¥Delta_{rs}}{¥Delta}  (x_r -¥overline{x_r})(x_s - ¥overline{x_s})
 =  i ¥sum t_r ¥overline{x_r} - ¥frac{1}{2} ¥sum ¥mu_{rs}  t_r t_s -  ¥frac{1}{2} ¥sum ¥mu_{rs}  s_r s_s , (20.24c)
e^{i¥sum ¥mu_r^'  t_r  - ¥frac{1}{2}¥sum ¥mu_{rs} t_r t_s}  ¥cdot  ¥frac{¥sqrt{¥Delta}}{(2¥pi)^{¥frac{n}{2}} }  ¥int ¥cdots ¥int e^{- ¥frac{1)}{2} ¥sum ¥mu_{rs}} t_r ¥frac{t_s}{2}   ds_1 ¥cdots ds_n , (20.24d)
Q = ¥sum_r ¥mu_{rr}^* ( s_r^*)^2 , (20.24e)
¥prod_r ¥int e^{-¥mu_{rr}^* ¥frac{(s_r^*)^2}{2} } ds_r^* = ¥prod ¥frac{¥sqrt{2¥pi}}{¥sqrt{¥mu_{rr}^*}} = ¥frac{(2¥pi)^{¥frac{n}{2}}}{¥sqrt{¥Delta}} , (20.24f)
a_{rs} = ¥frac{¥Delta_{rs}}{¥Delta}, q(x_1, ¥cdots, x_n) = ¥sum a_{rs}(x_r-¥overline{x_r})( x_s - ¥overline{x_s}) , (20.25)
\int \cdots \int e^{\sum \frac{a_{rs} x_r^' x_s^'}{2}  } d x_1^' \cdots dx_n^' = \frac{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{A}} , (20.26)
¥overline{x_{r}^{'} x_{s}^{'}} =-2 ¥sqrt{A} ¥frac{¥partial}{¥partial a_{rs}} ¥frac{1}{¥sqrt{A}} = ¥frac{A_{rs}}{A} , (20.27)
¥sum_r a_{rs} ¥mu_{ri} = ¥delta_{si} ( = 0,1) , (20.27a)
¥mu_{rs} = ¥frac{A_{rs}}{A} = ¥overline{x_{r}^{'} x_{s}^{'}} , (20.28)
¥sigma_1^2 = ¥frac{1}{a_{11}} , (20.29)
-¥frac{(a_{11} x_1^2 + 2a_{12} x_1 x_2 + a_{22}  x_2^2)}{2} , (20.29a)
¥overline{(x_1 -¥overline{x_1})^2} = ¥frac{a_{22}}{¥sqrt{a_{11}a_{22}- a_{12}^2}},  ¥overline{(x_1 -¥overline{x_1})(x_2 -¥overline{x_2})} = ¥frac{-a_{12}}{¥sqrt{a_{11}a_{22}- a_{12}^2}} , (29.29b)
p_{12} ¥equiv ¥frac{ ¥overline{(x_1 -¥overline{x_1})(x_2 -¥overline{x_2})} }{¥sqrt{ ¥overline{(x_1 -¥overline{x_1})^2} ¥cdot ¥overline{(x_2 -¥overline{x_2})^2} }} = ¥frac{-a_{12}}{¥sqrt{a_{11}a_{22}- a_{12}^2}} , (29.30)
-¥frac{1}{2} ¥left{ a_{11} x_{1}^{'2} + 2x_{1}^{'} (a_{12} x_{2}^{'} + a_{13} x_{2}^{'} + ¥cdots ) + const. ¥right}
= -¥frac{1}{2} ¥left{ a_{11}( ¥frac{(x_{1}^{'} - (a_{12} x_{2}^{'} + a_{13} x_{3}^{'} + ¥cdots )} {a_{11}})^2+ const. ¥right}, (29.30a)
¥overline{x_{1}^{'}} = ¥frac{(a_{12} x_{2}^{'} + a_{13} x_{3}^{'} + ¥cdots )}{a_{11}} , (29.31)
21:29 | Impressed! | Voted(0) | Comment(0)