カウンタ

COUNTER FROM 2016031871825

日誌

確率論及統計論 >> Article details

2016/06/21

確率論及等計論第III章記述的統計学 15.節平均値に関連した二三の不等式

Tweet ThisSend to Facebook | by kaizen
伏見康治「確率論及統計論」  #確率論及統計論  #輪講http://bit.ly/28Ioon1
第III章記述的統計学 15.節平均値に関連した二三の不等式

Markoffの予備定理
P¥left{\psi(x) \ge a ¥right} \le \frac{\overline{\psi(x)}}{a}, (\psi(x) \ge 0) , (15.1)
証明

\overline{\psi(x)}  = \int \psi(x) f(x) dx \ge a \int_{\psi(x) \ge a} f(x) dx = a\cdot P\left{\psi(x) \ge x\right}, (15.1a)
Bienayme - Teebebyeheffの定理
P ¥left{ | x - ¥overline{x} | ¥ge k ¥right} ¥le ¥frac{¥sigma^2}{k^2} , (15.1b)
P \left{ | x - \overline{x} | \ge k¥sigma \right} \le \frac{1}{k^2} , (15.2)
P \left{ | x - \overline{x} | \ge k(¥mu_{2¥gamma})^{¥frac{1}{2¥gamma}} \right} \le \frac{1}{k^{2¥gamma}} , (15.3)
P \left{  r  \ge k\sigma \right} \le \frac{n}{k^2}, (\mu_{ik} \le \sigma^2, r^2 = (x_1 -\overline{x_1})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x_n})^2), (15.4)
¥overline{x^2}> ¥overline{x}^2 , (15.5)
¥overline{(x - ¥overline{x})^2}= ¥overline{x^2}¥overline{x}^2¥ge 0 ,(15.5a)
¥overline{¥psi(x)}¥ge ¥psi(¥overline{x}) , (15.6)
\psi(x) \ge \psi(\overline{x}) + const. , (x-\overline{x}) , (15.6a)
¥overline{x^{2k}} ¥ge ¥overline{x}^{2k} , ¥overline{|x|^{2k+1}} ¥ge|¥overline{x}|^{2k+1} , (15.6b)
¥overline{|x|^k}=|¥overline{x}|^k, (k>1)  , (15.7)
脚注「k<1なら不等号は反対になる。|x|kは上方に凸になるから。」
\overline{|x|^k}¥ge\overline{|x|}^k, (k>1)  , (15.8)
平均を取る操作をf(x)でなくf(x)+f(-x)と考えれば酔い。
単調な変数変換を行う。
(¥overline{|x|^m})^{¥frac{1}{m}} ¥ge(¥overline{|x|^n})^{¥frac{1}{n}}, (m>n)  , (15.9)
絶対能率
¥overline{|x|} ¥le (¥overline{|x|^2})^{¥frac{1}{2}} ¥le (¥overline{|x|^3})^{¥frac{1}{3}}¥le ¥cdots , (15.9a)*
 \psi(x)\phi(x) \ge \psi(\tilde{x}) ¥phi(x)+ const. , (x-\overline{x})¥phi(x) (15.9b)
p.120
¥overline{\psi(x)\phi(x)} \ge \psi(\tilde{x}) ¥overline{\phi(x)} , (15.10)
\overline{|x|^{m+n}} \cdot (\overline{|x|^n})^{m-1} \ge (\overline{|x|^{n+1}})^m ,( m > 1) , (15.11)
「m=2ととって」
\overline{|x|^{n+2}} \cdot \overline{|x|^n} \ge (\overline{|x|^{n+1}})^2 ,( m = 2) ,(15.11a)*
\overline{\psi(x)^2}¥overline{\phi(x)^2} \ge (¥overline{\psi(x) \phi(x)})^2 , (15.12)
\overline{(\psi(x) \xi +\phi(x) \eta)^2}\ge 0 , (15.12a)
|\overline{\psi \phi} - \overline{\ps}\overline{\phi}|\le \sigma_\psi \cdot \sigma_\psi, (15.13)
|\mu_{ik}| \le \sigma_i \cdot \sigma_k , (15.14)
 r_{ik} = ¥frac{\mu_{ik}}{ \sigma_i \cdot \sigma_k}  ,(15.15)
¥frac{¥overline{|x|}}{¥sqrt{¥overline{|x|^2}}}¥cdot ¥sqrt{¥overline{|x|}}¥le ¥overline{¥sqrt{¥overline{|x|}}}¥le¥sqrt{¥overline{|x|} , (15.16)
¥sum_{ik} ¥mu_{ik}  ¥xi_i ¥xi_k , (15.16a)
\sum_{rs} \mu_{rs}  \xi_r \xi_s = ¥overline{x^r x^s}  \xi_r \xi_s =  ¥overline{¥sum_r x^r\xi_r)^2} ¥ge 0 , (15.16b)
(r, s, = 1, 2, ¥cdots n-1)
D_n = ¥begin{vmatrix} ¥mu_0 & ¥mu_1 & ¥mu_2  & ¥cdots & ¥mu_{n-1} ¥¥  ¥mu_1 & ¥mu_2 & ¥mu_3 & ¥cdots & ¥¥  ¥mu_2  & ¥mu_3 & ¥mu_4 & ¥cdots & ¥¥ ¥cdots & ¥cdots & ¥cdots & ¥cdots & ¥cdots ¥end{vmatrix} ¥ge 0, ( n=1,2,¥cdots) , (15.17)
09:44 | Impressed! | Voted(0) | Comment(0)