共同研究・競争的資金等の研究課題

2018年4月 - 2022年3月

放物型方程式論の深化と放物型性の起源の探索


配分額
(総額)
4,420,000円
(直接経費)
0円
(間接経費)
0円
資金種別
競争的資金

研究課題に関して以下の成果が得られた.(1) 従来のミトコンドリア膨潤モデルは,ミトコンドリアの空間移動は考慮されていなかったが,実際には空間移動することが知られている.空間移動の効果を考慮したPDEモデルを構築し,解の存在と一意性及び解の長時間漸近挙動に関する解析を行った.(2) 退化する準線形作用素を主要項として持つ複素ギンツブルグ-ランダウ方程式の可解性を示した.従来の研究で仮定されていた方程式に現れるパラメータに関する技術的な条件を外し,かつ対象とする領域を一般の非有界領域にまで拡張した.コンパクト性の欠如を,局所強収束性と対角線論法で補い,技術的な条件を外す為に報告者によって開発された「劣微分作用素に対する非単調摂動理論」を援用した.(3) 非有界領域における二重拡散対流方程式の時間周期問題は,方程式の強圧性とコンパクト性の欠如から,難しい未解決問題として残されていた.方程式に付随するエネルギー空間の全空間におけるスケール変換不変性を巧みに利用することによりこれらの困難を解決することに成功した.(4) 対流項とヒステリシス効果を有する放物型方程式系の解の存在を従来の仮定を大幅に緩和した条件のもとに示した.報告者の開発した L∞エネルギー法(ソボレフの埋蔵定理に依らずL∞評価を可能にするエネルギー法)を改良することによって従来よりも複雑な方程式系にも適用することが可能になった.(5) 解の時間微分にラプラス作用素のα次の分数冪を作用させた強消散項を有する波動方程式の放物型性を解析し「αが大きくなればなるほど,方程式の放物型性が増す」という予想を覆す現象が発見された.放物型性の起源を探る上で貴重な予備的結果である.研究目的に掲げた,具体的研究計画に対しておおむね計画に沿った成果が得られている.さらに,次年度以降の目標に対する予備的な研究成果も十分に得られている.(1) 集合値項をもつ放物型方程式:多価作用素項が usc(上半連続)な場合に対する,初期値境界値問題で得られた予備的結果を完成させ論文に纏める.さらに,lsc(下半連続)な場合に対する Fryszkowski’s selection theorem の適用可能性について精査する.(2) ミトコンドリア膨潤モデル:PDE-PDE モデルを更に深化させ,解の存在と解の漸近挙動の解析を行う.さらに,拡散現象が非ニュートン流に従う,準線形問題に対しての解析にも着手する.(3) 双曲型性と放物型性との間に横たわる階層構造の解明:強消散項を持つ波動方程式の放物型性に関する予備的知見を更に進展させ,実解析性やジュブレークラスの平滑化現象のための(必要)十分条件を探る.(4) 複素ギンツブルグ - ランダウ方程式:消散系の方程式に対する時間周期問題をまず,有界領域に対して解析する.パラメーターに対する初期値境界値問題と同じ条件の下で,任意の大きさの外力に対して時間周期解を構成することを目指す