本研究では,準線形拡散項を伴う数理生態学モデルの正値定常解集合の構造の解析,および相転移現象を記述する半線形拡散方程式の解集合の構造の解析を主として行なった.
数理生態学モデルでは拡散項が個体数密度に依存するprey-predatorモデル
u_t=Δ[ψ(u, v)u]+au(1-u-cv), v_t=Δ[ψ(u, v)v]+bv(1+du-v)
について同次Dirichlet境界条件の下で正値定常解集合の構造を解析した.この問題においてu, vはそれぞれprey, predatorの個体数密度であり,正値定常解集合が存在するための十分条件は知られており,問題になるのは正値解の形状や個数である.本研究では例えばφ(u, v)=1, φ(u, v)=1-βuとすると, βが大きいならば,適当な条件の下では3組の正値定常解が存在することを示したのみならず,それぞれの解の安定性に関する結果も得ることができた.
相転移現象モデルとして研究した方程式ほ同次Neumann境界条件下での
u_t=ε^2u_<xx>+u(1-u)(u-a(x)) (ただし0<a(x)<1)
である。拡散係数εが非常に小さいときには多種多様な定常解の存在が知られている。とりわけ、関数の値が急激に変化する内部遷移層やスパイクを持つ解が最大の関心の的である。我々の研究グループとAi-Chen-Hastingsのグループが独立に研究しており,内部遷移層が現れる位置はa(x)=1/2となる点xの近傍,スパイクが現れる位置はa(x)が極値を取る点xの近傍に限られることを示した.さらに、多重内部遷移層や多重スパイクが現れる条件や解の安定性(Morse指数)と解の形状についでも詳しい結果を得ることができた.