相川 弘明

一貫してポテンシャル論とその関連分野について研究している．ポテンシャル論は調和，優調和，劣調和，多重劣調和関数などの基本的な関数の定性，定量的な性質を調べる研究分野である．これらの基本的関数は，解析学，幾何学，確率論，応用数学など多くの分野に現れる重要な関数であり，その深い解析が必要であることが古くから認識されている．また，逆に，実解析，複素解析，関数解析，確率解析などの手法や概念，目的などがポテンシャル論に採り入れられ，ポテンシャル論自体が豊かになってきた．一般に，かなり複雑な非線形偏微分方程式の解でも領域内部の性質はよく知られており，領域が十分滑らかであれば，その境界挙動もある程度わかる．しかし，領域が複雑になってくると，最も簡単な調和関数でさえ，その境界挙動には未解明の部分が多い．一言で言えば，「広い意味での境界挙動」が研究対象である．具体的には，Fatou の定理，極小尖細位相，優調和関数の可積分性，容量の加法性，グリーン作用素のノルム評価，Martin 境界の決定，境界Harnack 原理などを研究している．