スピログラフをいうパイポトロコイドを描く道具に関して考察を行なった。大円の中心からペン先までの距離が極小から次の極小へいくまでの間の曲線の部分に注目したとき，その部分が自己交差を起こすことを「逆行」と呼ぶ。この逆行を起こす条件は，大円の半径をa，小円の半径をb，小円の中心からペン先の距離をcとすると，a-b < c < b のとき，逆行が起こることを示した。