多自由度力学系は、一般には非可積分つまりカオス系となるため解析的な手法を用いた理解が難しい。そこで、カオス系の特徴である軌道の指数的不安定性を定量化したリアプノフ指数と、その不安定方向を表すリアプノフベクトルを数値的に求めることにより、系の性質を調べる方法が有用な方法の一つとなっている。本研究の目的は、ハミルトン系に対してこのアプローチ方法を改良・発展させ、マクロな物理的現象をミクロな力学系の立場から理解することにある。
力の大きさが有限なハミルトン系では、軌道の進行方向とハミルトニアンの勾配方向との2方向に対しては、指数的軌道不安定性が発生しないことがわかっている。よって、純粋に不安定もしくは安定な方向を得るためには、これら2方向を他の方向から分離しなければならない。つまり、初期時刻でこれら2方向を表す平面に垂直なリアプノフベクトルは、任意の時刻で垂直であるのが望ましい。しかし、従来の方法ではこの要求は満たされない。
そこで、運動方程式を測地線方程式として表す幾何学的な方法を用いた。この方法の利点は、曲率と不安定性の関係など、軌道不安定性の幾何学的なイメージが明確になることである。従来の幾何学的方法では、配位空間に適当なリーマン計量を導入していたが、本研究ではこれを相空間にリフトすることにより、上記の要求を満たすような方法論を理論的に確立することに成功した。また、数値計算のアルゴリズムを開発することにより、実装することにも成功し、リアプノフ指数は従来の方法と一致するが、リアプノフベクトルは一致しないことを確認した。
応用としてこの方法を二次相転移をおこす系に適用した結果、次の示唆が得られた。
(1)臨界点に近づくにつれ、マクロ変数の揺らぎがミクロな不安定性を活用する度合いが大きくなる
(2)マクロ変数の揺らぎの発散が、リアプノフベクトルの方向の相関関数に現れる
これらの解析を推進することにより、臨界現象をミクロな立場から理解すること、また逆にミクロな力学系の未解決な問題を解決するためのヒントを得られることなどが期待できる。